Centros De Masa

Centro de masa.
31 de octubre de 2012
Sea P el vector que une el origen con un punto cualquiera de E3 . Si n masas positivas m1 , m2 , · · · , mn estan localizadas en los puntos P1 , P2 , · · · ,Pn respectivamente, el centro de gravedad del sistema se define como el punto C determinado por el vector ∞ m k Pk C = k=1 ∞ k=1 mk El denominador, mk , se llama masa total del sistema.

Si cada masamk se traslada seg´ n un vector A a un nuevo punto Qk siendo u Qk = Pk + A, el centro de gravedad tambien experimenta la traslaci´ n A, puesto que o se tiene mk Qk = mk mk (Pk + A) = mk m k Pk +A=C +Amk

Esto tambi´ n se expresa diciendo que la posici´ n del centro de gravedad depende e o tan s´ lo de los puntos P1 , P2 , · · · , Pn , y de las masas, y no de la situaci´ n del origen. o o Elcentro de gravedad es una cantidad calculada te´ ricamente que representa, por o as´ decirlo, un ficticio ((punto de equilibrio)) del sistema. ı Si las masas estan en un plano en los puntos de coordenadas(x1 , y1 ), · · · , (xn , yn ), y si el centro de gravedad tiene coordenadas (x, y) la relaci´ n vectorial que define C o puede expresarse con dos ecuaciones escalares, mk xk mk mk yk mk

x = y =1

En el numerador del cociente que define x, el t´ rmino k-´ simo de la suma, mk xk e e se denomina el momento de la masa mk respecto al eje y. Si una masa m igual a la masa total del sistemafuese situada en el centro de gravedad, su momento respecto al eje y ser´a igual al momento del sistema ı
n

mx =
k=1

m k xk

Cuando nos referimos a un sistema cuya masa total est´ distibuida enuna cierta a regi´ n del plano en lugar de estar situada en un numero finito de puntos aislados, los o conceptos de masa, centro de gravedad y momento se definen mediante integrales en lugar de hacerlocon sumas. Por ejemplo, consideremos una ((fina lamina)) que tenga la forma de una regi´ n plana S. Supongamos que la materia esta distribuida por toda la o ´ l´ mina con una densidad conocida (masa...