Centros Y Centroides

Aéreas y líneas.
Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional.
Para la determinación del centro de gravedad de un cuerpo rígido quiere decir el determinar el punto G donde una sola fuerza W, llamada el peso del cuerpo, se puede aplicar para representar el efecto de la atracción de la Tierra sobre el cuerpo en cuestión.
Se considerar los cuerpos bidimensionales como placas planas y alambrescontenidos en el plano xy . Al sumar componentes de la fuerza en dirección vertical z y sumar momentos respecto a los ejes horizontales X y Y, se derivaron las relaciones
W = ∫ dW XW = ∫ X dW YW = ∫ Y dW
Las cuales definen el peso del cuerpo y las coordenadas X y Y de su centro de gravedad.
Centroide de un área o línea
En el caso de una placa plana homogéneade espesor uniforme, el centro de gravedad G de la placa coincide con el centroide X del ara A de la placa cuyas coordenadas están definida por las relaciones
XA = ∫ X dA YA = ∫ Y dA
De manera similar, la determinación del centro de gravedad de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme que esta contenido en un plano, se reduce a la determinación delcentroide X de la line L que representa al alambre; así, se tiene
XL = ∫ X dL YL = ∫ Y dL
Primeros momentos
Se hace referencia a las integrales en las ecuaciones. Como los primeros momentos del área A con respecto a los ejes X y Y, los cuales se representan, respectivamente con Qy y Qx. Así, se tiene
Qy = XA Qx = YA
Los primeros momentos de una línea se puedendefinir en forma similar.
Propiedades de simetría
La determinación del centroide X de una área o de una línea se simplifica cuando e área o la línea poseen ciertas propiedades de simetría. Si el área o la línea es simétrica con respecto a un eje su centroide C se encuentra sobre dicho eje; si el área o la línea es simétrica con respecto a 2 ejes, C esta localizado en la intersección de los 2ejes; si el área o la línea es simétrica con respecto a un centro O, C coincide con O.

Centro de gravedad de un cuerpo compuesto
Cuando una placa puede dividirse en varias de estas formas, las coordenadas X y Y de su centro de gravedad G se pueden determinar a partir de las coordenadas x1,x2,… y y1,y2,… de los centros de gravedad G1,G2,… de las diferentes partes. Al igualar respectivamente losmomentos en relación a los ejes X y Y, se tiene que

Si la placa es homogénea y de espesor uniforme, su centro de gravedad coincide con el centroide C del área de la placa y las ecuaciones se reducen a
Qy = XΣA = ΣxA Qx = YΣA = ΣyA
De estas ecuaciones se obtienen los primero momentos del área compuesta o pueden resolverse para las coordenadas X y Y de su centroide. La determinación delcentro de gravedad de un alambre compuesto se lleva a cabo de forma similar.
Determinación de un centroide por integración.
Cuando un área esta limitada por curvas analíticas, las coordenadas de su centroide pueden determinarse por integración. Esto puede realizar evaluando las integrales dobles en las ecuaciones o evaluando una sola integral que emplea uno de los elementos de área mostrados, quetienen la forma de un rectángulo delgado o de un fragmento de circulo delgado. Al representar con xel y yel las coordenadas del centroide del elemento dA, se tiene que
Qy = xA = ∫ xel dA Qx = yA = ∫ yel dA
Es ventajoso emplear el mismo elemento del área para el calculo de los 2 primero momentos Qy y Qx; además, el mismo elementotambién se puede utilizar para determinar el área A.

Teoremas de pappus-Guldinus
Los teoremas de pappus-guldinus reaccionan la determinación del área de una superficie de revolución o el volumen de un cuerpo de revolución con la determinación del centroide de la curva generatriz o del área generatriz. El área A de la superficie generada al rotar una curva de longitud L con respecto a un eje fijo,...