Cereal

1

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 1 Para Ingeniería
Cristián Burgos Gutiérrez
Guía N°6: Derivadas I.
Ejercicios Resueltos.

1. Usando la denición, demuestreque si f (x) =
Solución:

√

x + 1 ⇒ f (x) =

√1
2 x+1

f (x + h) − f (x)
, entonces
h→0
h
√
√
(x + h) + 1 − x + 1
(x + h) + 1 + x + 1
f (x) = lim
·
√
h→0
h
(x + h) + 1 + x + 1x+h+1−x−1
= lim
√
h→0
h
(x + h) + 1 + x + 1

Recordemos que la denición es f (x) = lim

=
=

lim √

h→0

1
√
x+h+1+ x+1

1
√
2 x+1

2. Demuestre que si g(x) = f (x + c) ⇒ g(x) = f (x + c)
Solución:

En efecto
g (x)

=
=
=

g(x + h) − g(x)
h
f ((x + h) + c) − f (x + c)
lim
h→0
h
f (x + c)
lim

h→0

f (a + αh) − f (a + βh)
h→0
h

3. Si f esderivable en x = a, encuentre una expresión para lim
Solución:

Sumaremos convenientemente un cero, de tal manera que se obtenga lo siguiente
lim

h→0

f (a + αh) − f (a + βh)
h

=
=
=
=
=4. Muestre que la función f (x) =
Solución:

1
x sin x ,
0,

f (a + αh) − f (a + βh) + f (a) − f (a)
h
f (a + αh) − f (a) − (f (a + βh) − f (a))
lim
h→0
h
f (a + βh) − f (a)
f (a + αh)− f (a)
lim
− lim
h→0
h→0
h
h
f (a + αh) − f (a)
f (a + βh) − f (a)
α lim
− β lim
h→0
h→0
αh
βh
αf (a) − βf (a) = (α − β)f (a)
lim

h→0

x=0
es contínua en x = 0 pero no esderivable en x = 0.
x=0

Para analizar la continuidad estudiaremos el limite en cero, es decir
lim x sin

x→0

Haciendo el cambio u =

1
x

1
x

si x → 0 entonces u → ∞, luego:
lim

u→∞sin u
=0
u

2

Como f (0) = 0, entonces f es continua en x = 0.
Para el caso de la derivada en cero se sabe de la denición que:
f (0) = lim

h→0

f (h) − f (0)
h
= lim sin
h→0 h
h1
h

= lim sin
h→0

1
h

=

Como el límite no existe eso implica que no tiene derivada en cero por ende no es derivable allí.

sin x
mx + b

5. Sea f una función denida mediante...