CEREZO

Wavelets SI - 2012

Wavelets
Proyecto Sistemas
Informáticos
Facultad de Informática
Universidad Complutense de Madrid
Profesor Director: Luis Vázquez
Elena Rupérez Cerezo

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Wavelets SI - 2012

RESUMEN
Este trabajo constituye principalmente una panorámica de los fundamentos y
aplicación de la teoría de wavelets. Comenzamos con una base matemática para
luego dar una introducción general de losconceptos sobre las series de Fourier,
Transformada de Fourier, Transformada Discreta de Fourier DFT y Transformada
Rápida de Fourier FFT. Posteriormente
se introduce wavelets como una
herramienta alternativa al análisis de Fourier para el procesamiento de señales.
La idea es desarrollar de una manera clara la teoría matemática de wavelets y su
aplicación en las siguientes áreas que a continuacióndescribo: Imágenes
comprimidas con wavelets, texturas de imágenes digitales, mejoras como por
ejemplo resaltar el contorno de una imagen. Compresores basados en la
transformada Wavelet, comparación con aplicaciones tan actuales como Zip.
Aplicaciones de la transformada Wavelet en el campo del algebra lineal.

SUMMARY
This work is primarily an overview of the fundamentals and application of thetheory
of wavelets. We begin with a mathematical basis then give a general introduction to
the concepts of Fourier series, Fourier Transform, Discrete Fourier Transform DFT
and FFT Fast Fourier Transform. Wavelet is an alternative tool to Fourier analysis for
signal processing.

The idea is to develop a clear way the mathematical theory of wavelets and their
application in the following areas that Idescribe below: Images compressed with
wavelet texture digital image enhancements such as highlight the outline of an
image. Compressors based on wavelet transform, as compared to current
applications as Zip. Wavelet transform applications in the area of linear algebra.

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Wavelets SI - 2012

Índice General
1. Introducción
2. Base Matemática – Conceptos
3. Teoría de Fourier
3.1
Series deFourier
3.2
Transformada de Fourier
3.3
Transformada Discreta de Fourier (DFT)
3.4
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
4. Análisis Tiempo – Frecuencia
4.1
La Transformada corta de Fourier (STFT)
4.2
Transformada Continua Wavelet (CWT)
5. Sistemas Wavelet
5.1
Función Escala
5.2
Función Wavelet
6. Wavelet Haar
6.1
Principios de Multi-resolución
6.2
Función Haar Escala
6.3
Función Haar Wavelet
6.4Transformada Discreta Wavelet (DWT)
6.5
Transformada rápida wavelet. Banco de filtros, Ejemplo
7. Aplicaciones
7.1
Aplicaciones de la DWT en la solución de sistemas de
ecuaciones lineales.
7.2

Compresión

7.2.1 Compresión de Imagen con MatLab 7.0
7.2.2 Implementación compresión de imágenes en .NET C#.
7.2.3 Aplicaciones de la transformada de wavelet en mejora
de imágenes.
7.2.4 Compresor Wavelet vs. ZIP7.2.5 JPEG vs JPE2000

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8. Conclusiones
9. Bibliografía
10 Referencias Internet
11 Apéndice

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1. Introducción
Un sistema Wavelet puede describirse de forma “amigable”, como un conjunto de
ladrillos (que para cada sistema pueden tener diferente forma), los cuales sirven
para reconstruir o representar una función o señal. Este conjunto es una expansiónbi-dimensional L2(R), que suele servir de base para cualquier clase de señal de una
o más dimensiones.
Realizaremos un recorrido por las actuales componentes matemáticas más
conocidas y daremos paso y cabida a las nuevas componentes que hay en el
mercado explicando su teoría y sus posibles aplicaciones.

2. Base Matemática
En este apartado vamos a ir añadiendo todos aquellos conceptos matemáticosque
nos serán de utilidad para entender los razonamientos que vamos a exponer a
continuación:
Ortogonalidad entre el seno y el coseno
Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t <
b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:
b

f m(t)f n(t)dt
a

0

para m

n

rn

para m n

Ortonormal – Normalidad
Un conjunto de vectores es...