Certamen 1 Matem Tica I 2011 1

CERTAMEN No 1 MAT-021 2011 - 1

PREGUNTAS
1. Considere el siguiente razonamiento: Si estudio entonces apruebo los cursos. Adem´
as, si no
termino mi carrera entonces no apruebo los cursos. A partir, unicamente de lo anterior,
¿cu´
al de las siguientes afirmaciones es verdadera?
(A) Si termino mi carrera entonces estudio.
(B) Si apruebo los cursos entonces estudio.
(C) Si estudio entonces terminomi carrera.
(D) Si no estudio entonces no apruebo los cursos.
(E) Todas las anteriores son falsas.
Soluci´
on:
Si definimos p: estudio, q: apruebo los cursos y r: termino mi carrera, entonces el enunciado
corresponde a (p =⇒ q) ∧ (r =⇒ q). Equivalentemente (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ r). Es claro
que a es r =⇒ q, b es q =⇒ p, c es p =⇒ r (la cual es cierta por transitividad) y d
equivale a b. La respuesta esC.
2. El conjunto soluci´
on S de la inecuaci´on
x2 − 4x − 4 < 8,
es:
(A) S = (−2, 6)
(B) S = R − {2}
(C) S = (−∞, −2) ∪ (6, ∞)
(D) S = (−2, 2) ∪ (2, 6)
(E) Ninguna de las anteriores
Soluci´
on:
La inecuaci´
on es equivalente a resolver:
−8 < x2 − 4x − 4
x2 − 4x + 4 > 0
(x − 2)2 > 0
|x − 2| > 0
x=2
x ∈ R − {2}

∧
∧
∧
∧
∧
∧

x2 − 4x − 4 < 8
x2 − 4x − 12 < 0
(x − 2)2 < 16
|x − 2| < 4
−4 < x − 2 <4
−2 < x < 6

luego el conjunto soluci´
on S = (−2, 2) ∪ (2, 6), con ello, la alternativa correcta es la D.

1

3. El conjunto soluci´
on de la ecuaci´on trigonom´etrica
sen(x)(sen(x) + 1) = 2,
es:
(A) S = {π + 2πk /k ∈ Z}
(B) S = {π/2 + πk /k ∈ Z}
(C) S = {2π + πk /k ∈ Z}
(D) S = {π/2 + 2πk /k ∈ Z}
(E) Ninguna de las anteriores.
Soluci´
on:
La ecuaci´
on equivale a sin2 (x) + sin(x) − 2 = (sin(x)+ 2)(sin(x) − 1) = 0. Luego sin(x) = 1,
es decir la soluci´
on son todos los n´
umeros reales de la forma π/2 + 2πk con k entero. La
respuesta es D.
4. Con respecto a la funci´
on f (x) = sen2 (3x) − cos2 (3x).
(I) La funci´
on es par.
(II) La sinusoide y = f (x) tiene amplitud 1.
(III) La imagen de π/6 es 1.
¿Cu´
al(es) es(son) verdadera(s)?
(A) S´
olo I
(B) So`lo I y II
(C) S´
olo I y III
(D)S´
olo II y III
(E) Todas I, II y III.
Soluci´
on:
Tenemos que f (x) = sin2 (3x) − cos2 (3x) = − cos(6x) y luego I, II y III son verdaderas. La
respuesta es E.
5. El conjunto soluci´
on de la siguiente inecuaci´on
|x − 7| < 5 < |5x − 25| ,
es:
(A) (2, 4)
(B) (2, 4) ∪ (6, 12)
(C) (4, 6)
(D) (2, 4] ∪ [6, 12)
(E) (6, 12)

2

Soluci´
on:
La inecuaci´
on es equivalente a resolver:
|x − 7| < 5 ∧ 1 < |x −5|
−5 < x − 7 < 5 ∧ (x − 5 > 1 ∨ x − 5 < −1)
2 < x < 12 ∧ (x > 6 ∨ x < 4)
El conjunto soluci´
on es (2, 4) ∪ (6, 12), luego, la respuesta es B.
6. Resuelva el sistema:
log(x) + log(y 3 ) = 5
x2
y

log

= 3

e indique su soluci´
on
(A) x = 2, y = 1.
(B) x = 10, y = 100.
(C) x = 1, y = 10.
(D) x = 10, y = 1.
(E) x = 100, y = 10.
Soluci´
on:
El sistema entregado puede escribirse como:
log(x) + 3log(y) = 5
2 log(x) − log(y) = 3
definiendo: a = log(x) y b = log(y) se debe resolver el sistema:
a + 3b = 5
2a − b = 3

⇒

a + 3b = 5
6a − 3b = 9

⇒

a = 2
b = 1

En consecuencia:
a = 2 ⇒ log(x) = 2 ⇒ x = 102 ⇒
b = 1 ⇒ log(y) = 1 ⇒ y = 101 ⇒

x = 100
y = 10

La respuesta es por tanto E.
7. Considernando la funci´
on
f (x) = 8 sen 3x +

π
π
cos 3x +
12
12

determine cual de las siguientesafirmaciones es verdadera.
(A) f no es una funci´
on sinusoidal
(B) f es una funci´
on sinusoidal de amplitud 8
(C) f es una funci´
on sinusoidal de periodo

π
3.

π
(D) f es una funci´
on sinusoidal cuyo ´angulo de fase es − 12

(E) Ninguna de las anteriores
3

Soluci´
on:
Aplicando algunas identidades trigonom´etricas obtenemos
f (x) = 8 sin 3x +

π
π
cos 3x +
12
12

= 4 sin 2 3x +
= 4 sin 6x +

π
12

π6

luego f es una funci´
on sinusoidal de amplitud A = 4, periodo p =
π
θ = − 36
. Por lo tanto la alternativa correcta es C.

2π
6

= π3 , ´angulo de fase

8. Sea a < 0 . El conjunto soluci´on de la inecuaci´on ax3 − a2 x2 < 0 es:
(A) (a, 0) ∪ (0, +∞)
(B) (0, +∞)
(C) (a, +∞)
(D) (−∞, a)
(E) (−∞, −a)
Soluci´
on:
Factorizando, tenemos: a(x − a)x2 < 0 ⇔ (x − a)x2 > 0, como x = 0 no es soluci´
on,...