certamen 1

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemática

Matemática II (MAT022)
1er Semestre de 2014. Pauta Certamen 1, Jueves 8 de Mayo de 2014.

1. Sean los vectores u = (1, 2,0), v = (1, 2, 3) y w = (4, 5, 6).
(a) (10 puntos) Sea A la matriz con las columnas u, v, w. Calcule det(A) y det(A−1 ).
Solución

det(A) =

1
2
0

1
2
3

4
5
6

1
2
0

=

0
03

4
4
6

= −3

1
2

5
4

= 9. (7 puntos)

Entonces, det[A−1 ] = 1 . (3 puntos)
9
(b) (8 puntos) Obtenga un vector unitario en la dirección del vector u × v.
Solución
Calcule
u×v=

i
1
1

j
2
2

k
0
3

= (6, −3, 0). (4 puntos)
(3pts)

2 −1
Se tiene u × v = 3(2, −1, 0). Por tanto, el vector unitario que se pide es ( √5 , √5 , 0).

(4 puntos)

(c) (7puntos) Halle el área del paralelogramo generado por los vectores u, v.
Solución
El área del paralelogramo generado por los vectores u, v es u × v =

Otra opción:

MAT022 Certamen 1

√

45. (7puntos)

u u − u, v .

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2. (a) (15 puntos) Encuentre
sen

√

x − 1 dx.

Solución
Sea t2 = x − 1 ⇒ 2tdt = dx,
sen√

x − 1 dx =

2t sen t dt. (5 puntos)

Sean u = 2t, dv = sen t dt, entonces du = 2dt, dv = −d cos t. Aplicando integración de partes, se tiene
2t sen t dt = −2t cos t + 2

cos t dt = −2tcos t + 2 sin t + C. (5 puntos)

Por lo tanto,
sen

√

√
√
√
x − 1 dx = −2 x − 1 cos x − 1 + 2 sin x − 1 + C. (5 puntos)

(b) (10 puntos) Sea
x

sen t2 dt

f (x) =
0

Calcule f (π/2).
Solución
Vemos que
f (x) = sen x2 ,

(5 puntos)

Entonces f ( π/2) = 1. (5 puntos)

MAT022 Certamen 1

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3.(a) (10 puntos) Si A ∈ Mn (R), invertible tal que satisface la condición
A · (A2 + 3A + I) = 0.
Pruebe que A−1 = −A − 3I.
Solución
Como A ∈ Mn (R), invertible, entoces ∃A−1 ∈ Mn (R) tal que...