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ANÁLISIS DESCRIPTIVO DE FUNCIONES Y GRÁFICAS

INTRODUCCIÓN
La noción actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV, cuando empiezan a preocuparse de medir y representar las variaciones de ciertas magnitudes, como la velocidad de un cuerpo
en movimiento. El nombre de función proviene de Leibnitz. A partir de los siglos XVIII y XIX
el concepto de función se hace el eje central de lasmatemáticas, su estudio a través del cálculo
y sobre todo de las ecuaciones diferenciales se hace totalmente indispensable para llevar adelante todo el desarrollo científico y tecnológico, primero al servicio de la Física y luego de otros
campos.
I) FUNCIONES Y GRÁFICAS
1. Concepto “intuitivo” de función. Las funciones como descripción de fenómenos
¿Qué son las funciones?
- la posición de un móvil esfunción del tiempo
- la presión atmosférica es función de la altura
- el peso medio de los chicos depende de la edad....
Expresiones semejantes ilustran bien lo que es una función en matemáticas. Las de arriba significan que:
- a cada tiempo le corresponde un espacio recorrido (a una velocidad determinada)
- a cada altura le corresponde una presión atmosférica
- a cada edad le corresponde un pesomedio.
A esta asignación se le llama función.
El conjunto de elementos a los que se le asigna algo se llama el conjunto de definición o dominio de la función o campo de existencia. El conjunto de esos algos que se les va asignando se
llama recorrido o conjunto imagen.
Ejemplo 1. Consideremos la función que a todo número se le asigna su inverso, el dominio de esta función es todos los reales menos el0.
Ejemplo 2. La función que a un nº real se le asigna su raíz cuadrada está definida sólo para los positivos.
Es decir su dominio son los reales positivos (incluido el 0)

2. Expresiones algebraicas de una función. Formas de determinar una función
Expresión simbólica de una función
Las que estudiaremos nosotros son las que a cada número de un cierto conjunto le asigna otro
número: funcionesnumérica que llamaremos simplemente funciones.
Definición 1. Se llama función real de variable real a toda aplicación:
f:D

R

x

f(x)

o

y =f(x)

siendo D ⊂ R el dominio.

La letra f simboliza la asignación u operación que hay que hacer a la x, que llamaremos variable independiente, al valor f(x) se le llama variable dependiente o imagen de x.
Ejemplo 3. La función f(x) =x2

Ejercicio 1. Hallar eldominio de las siguientes funciones;
a) f ( x) =

Análisis

x 2 +1
x −1

; b) g(x) = ln (x2+1); c) ; c) y = x 2 − 2 ; d) y =

x +1
x −1

Representación gráfica
El conjunto de todos los pares 8x, y) donde x recorre el dominio de f se llama la gráfica de f.
La gráfica es una herramienta muy útil para visualizar propiedades y comportamientos de una
función (Ver apartado 4)
Para representar una funciónse debe considerar:
- El dominio o campo de existencia
- Los cortes con los ejes
- El signo de la función. Regiones de existencia
- La simetría de la gráfica.
- Los intervalos de crecimiento.
–La relación con otras funciones conocidas.
Traslaciones y suma de gráficas. Representación conjunta de gráficas
En la figura 1 están representadas las gráficas de f(x)= x2 y la de g(x)=x2 -2

en la figura 2están representadas las gráficas de f(x)= x2 y g(x) = (x +1)2

En la figura 3 están representadas las gráficas de las funciones f(x)=x2 , g(x)= x3 y h(x) = x2 +x3

Análisis

♦ Aplicación práctica: punto de equilibrio entre las curvas de oferta y demanda.
Ejercicio 2. Las curvas de oferta y de demanda de cierto tipo de ordenadores son, respectivamente:
y =2x- 1000
y = 0,5x +2000
en donde x es elprecio en euros de los aparatos e y el número de aparatos ofertados o demandados. Hallar el punto de equilibrio.
Formas de determinar una función
Mediante
-Una fórmula. Ej.: E =v.t (poner de manifiesto sus ventajas)
-Su representación gráfica.
- Una serie de puntos.
- La descripción del fenómeno q representan.
Ejercicio 3. Un médico dispone de 1hora diaria para consulta. El tiempo que podría,...