Certamen

3. Centro de Masa: Se define el primer momento de una part´
ıcula dm respecto
a x (resp. y, resp.z) como x dm (resp. y dm, resp. z dm) y con ello definimos el
primer momento respecto al cable como la integral de los primeros momentos de
cada part´
ıcula sobre C. Por el teorema del valor medio integral, existe un punto
´
´
(x, y, z) (no necesariamente en la curva C) tal que C x dm = xM (C),C y dm =
´
yM (C), C z dm = zM (C). Dicho punto es llamado el centro de masa de C.
Observaci´n: Si la distribuci´n de masa es uniforme (constante) entonces (x, y, z)
o
o
se llama centroide (centro geom´trico), y no depende de la masa.
e
4. Momento de Inercia: Se define el momento de inercia de una part´
ıcula dm
respecto a un eje de rotaci´n como r2 dm, donde r es la distancia de la
o
´part´
ıcula al eje de giro. Con ello I = C r2 dm es el momento de inercia del cable
respecto al eje de giro .

´
Resumen Calculo Vectorial
I. Curvas Param´tricas.
e
Sea C ⃗(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ I = [a, b] ⊂ R una curva en R3 , es decir, ⃗ I ⊂ R → R3
r
r
es una funci´n vectorial de variable real. Luego, diremos que la curva C es:
o
1. Continua ⇔ ⃗ I ⊂ R → R3 es una funci´ncontinua.
r
o
2. Suave ⇔ ⃗′ (t) existe, es continua y no se anula.
r
Observaci´n: ⃗′ (t) representa en tal caso un vector tangente (no necesariamente
o r
unitario) a la curva C en el punto ⃗(t) ∈ C.
r
3. Seccionalmente suave (suave por tramos) ⇔ C es continua y C = C1 ∪ . . . ∪
Cn = C1 + . . . + Cn , donde Ci , i = 1, . . . , n es suave.
4. Cerrada ⇔ ⃗(a) = ⃗(b) y C es continua.
r
r
5.Simple ⇔ [(t1 ≠ t2 ) → ⃗(t1 ) ≠ ⃗(t2 )] (⃗ inyectiva).
r
r
r
Observaci´n: Geom´tricamente, la curva no se autointersecta.
o
e
6. de Jordan ⇔ C es simple y cerrada.

III. Campos Vectoriales.
La idea de un campo vectorial es asociar a cada punto de un sector un el espacio
(o plano) un vector saliendo desde el punto.

Importante: Lo anterior es an´logo para curvas en el plano C ⃗ I ⊂ R→ R2 .
a
r

Definici´n: Sea Ω ⊆ R3 un abierto y P, Q, R Ω → R funciones escalares. Un camo
⃗
po vectorial X Ω ⊆ R3 → R3 es una funci´n que asigna a un vector a cada punto en
o
el dominio de acuerdo a la regla

II. Integrales de L´
ınea de Funciones Escalares.
r
Sea C ⃗(t), t ∈ I ⊂ R una curva suave, entonces d⃗(t) = d⃗ dt es un vector infiniter
r
dt
simal tangente a la curva C. Luego,se define el elemento diferencial de longitud
de arco como

ds = d⃗ =
r

⃗
X(x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))
Observaciones:
⃗
1. Se denota de forma resumida X = (P, Q, R).
⃗ es continuo si y s´lo si las funciones componentes P, Q, R son conti2. El campo X
o
⃗
nuas. En general, X es de clase C k (k−veces continuamente derivable) si P, Q, R
son de clase C k .
⃗
⃗
3.Notaci´n: Xk (Ω) = {X Ω ⊆ R3 → R3 X de clase C k en Ω} es el conjunto de
o
k
todos los campos vectoriales de clase C definidos en el abierto Ω.
⃗
4. Del mismo modo, un campo bidimensional X Ω ⊆ R2 → R2 es de la forma

√
d⃗
r
dt = ⃗′ (t) dt = x′ (t)2 + y ′ (t)2 + z ′ (t)2 dt
r
dt

y a partir de ella se define la integral de l´
ınea para una funci´n escalar definida sobre
o
la curvaC:
Definici´n: Sea Ω ⊆ R3 un abierto, f Ω → R una funci´n continua y C ⃗(t), t ∈ [a, b]
o
o
r
una curva suave completamente contenida en Ω. Entonces,
ˆ
ˆ b
d⃗
r
f (x, y, z) ds =
f (⃗(t))
r
dt
dt
C
a

⃗
X(x, y) = (P (x, y), Q(x, y))
x
x
y
−y
⃗
,
) y X2 (x, y) = ( 2
,
) son
x2 + y 2 x2 + y 2
x + y 2 x2 + y 2
∞
2
dos campos vectoriales de clase C definidos en Ω = R −{(0, 0)}.
⃗
Por ejemplo, X1 (x, y) = (

se llama integral de l´
ınea de la funci´n f sobre la curva C.
o
Observaci´n: f (⃗(t)) = f (x(t), y(t), z(t)) es la restricci´n de la funci´n a la curva. Una
o
r
o
o
propiedad importante es que el valor de la integral no depende de la parametrizaci´n.
o

⃗
⃗
Definici´n: Sea Ω ⊆ R3 abierto y X Ω ⊆ R3 → R3 un campo vectorial. Diremos que X
o...