Certamenes Algebra
Páginas: 16 (3751 palabras)
Publicado: 15 de marzo de 2015
CERTAMENES Y PAUTAS PARA EL
MODULO 1
´
DE ALGEBRA
Y TRIGONOMETR´IA:
220009
MATERIAL RECOPILADO DURANTE
EL PRIMER SEMESTRE DE 2012
RPI ——, ISBN ————
Proyecto financiado por el Departamento de Matem´atica–UBB.
Profesores participantes: Gabriel Sanhueza, Carlos Picarte,
Jos´
e Godoy, Sergio Caucao.
Concepci´on, 2012.
Departamento de Matem´
atica–Universidad del B´ıo-B´ıo
´Indice general
0.1.Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Modulo 1
3
4
1.1. Certamen 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Pauta Certamen 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3. Certamen 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 10
1.4. Pauta Certamen 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Pauta Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Certamen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19
1.8. Pauta Certamen3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9. Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
0.1.
Introducci´
on
3
Cap´ıtulo 1
Modulo 1
1.1.
1.
Certamen 1A
a) (10 puntos) Dadas p, q, r tres proposiciones tales que:
p: es verdadera (V),
q: es falsa (F),
r: esverdadera (V)
Determine el valor de verdad de la proposici´on compuesta, justificando cada paso que
realice
((¬p ∧ r) → ¬q) ←→ (p → (q ∨ r))
b) (15 puntos) Determine si las proposici´on [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p es Tautolog´ıa, Contingencia o Contradicci´
on. Justifique sus pasos
2. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudiaban varios idiomas fueron lassiguientes:
Ruso 28
Lat´ın 42
Ruso y Lat´ın 10
Los tres idiomas
Ingl´es 30
Ruso e Ingl´es 8
Ingl´es y Lat´ın 5
3
a) (7 puntos) ¿Cu´
antos estudiantes estudian ning´
un idioma?
b) (6 puntos) ¿Cu´
antos estudiantes ten´ıan al Lat´ın como u
´nico idioma de estudio?
c) (6 puntos) ¿ Cu´
antos estudiantes aprend´ıan Ruso o Ingl´es pero no Lat´ın?
d ) (6 puntos) Represente el problema mediante undiagrama de Venn.
4
3.
a) (12 puntos) Realice un diagrama de Venn para los conjuntos
(A ∩ C) − B y (A − B) ∩ (C − B)
b) (13 puntos) Utilizando igualdades de conjuntos (propiedades) y simplificando, demostrar (A ∩ C) − B = (A − B) ∩ (C − B)
4.
a) (12 puntos) Dada la funci´on proposicional ∃ x ∈ Z : x2 − 1 = 0. Determine el conjunto
de elementos x ∈ Z que satisfacen la igualdad. Adem´as niegue lafunci´on proposicional.
b) (13 puntos) Dado el conjunto A = {−1, 1, 2}, y la funci´on proposicional ∃ x ∈ A, ∀y ∈
A : x ≤ y 2 , determine su valor de verdad y niegue la funci´on proposicional.
5
1.2.
1.
Pauta Certamen 1A
a) (10 puntos) Dadas p, q, r tres proposiciones tales que:
p: es verdadera (V),
q: es falsa (F),
r: es verdadera (V)
Determine el valor de verdad de la proposici´oncompuesta, justificando cada paso que
realice
((¬p ∧ r) → ¬q) ←→ (p → (q ∨ r))
Soluci´
on:
((¬p ∧ r) → ¬q)
((∼ V ∧ V ) →∼ F )
((F ∧ V ) → V )
(F → V )
V
←→ (p → (q ∨ r))
←→ (V → (F ∨ V ))
←→ (V → (F ∨ V ))
←→
(V → V )
←→
V
V
El valor de verdad de la proposici´on compuesta es VERDADERO.
b) (15 puntos) Determine si las proposici´on [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p es Tautolog´ıa, Contingencia o Contradicci´
on.Justifique sus pasos
Soluci´
on:
p q ∼p
V V
F
V F
F
F V
V
F F
V
∼q
F
V
F
V
p→q
V
F
V
V
[p → q] ∧ ¬q
F
F
F
V
[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
V
V
V
V
Seg´
un la u
´ltima columna derecha del cuadro, la proposici´on compuesta es una TAUTOLOG´IA.
2. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudiaban varios idiomas fueron las siguientes:
Ruso 28
Lat´ın 42
Ruso y...
MODULO 1
´
DE ALGEBRA
Y TRIGONOMETR´IA:
220009
MATERIAL RECOPILADO DURANTE
EL PRIMER SEMESTRE DE 2012
RPI ——, ISBN ————
Proyecto financiado por el Departamento de Matem´atica–UBB.
Profesores participantes: Gabriel Sanhueza, Carlos Picarte,
Jos´
e Godoy, Sergio Caucao.
Concepci´on, 2012.
Departamento de Matem´
atica–Universidad del B´ıo-B´ıo
´Indice general
0.1.Introducci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Modulo 1
3
4
1.1. Certamen 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2. Pauta Certamen 1A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3. Certamen 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 10
1.4. Pauta Certamen 1B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6. Pauta Certamen 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7. Certamen 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 19
1.8. Pauta Certamen3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9. Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2
0.1.
Introducci´
on
3
Cap´ıtulo 1
Modulo 1
1.1.
1.
Certamen 1A
a) (10 puntos) Dadas p, q, r tres proposiciones tales que:
p: es verdadera (V),
q: es falsa (F),
r: esverdadera (V)
Determine el valor de verdad de la proposici´on compuesta, justificando cada paso que
realice
((¬p ∧ r) → ¬q) ←→ (p → (q ∨ r))
b) (15 puntos) Determine si las proposici´on [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p es Tautolog´ıa, Contingencia o Contradicci´
on. Justifique sus pasos
2. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudiaban varios idiomas fueron lassiguientes:
Ruso 28
Lat´ın 42
Ruso y Lat´ın 10
Los tres idiomas
Ingl´es 30
Ruso e Ingl´es 8
Ingl´es y Lat´ın 5
3
a) (7 puntos) ¿Cu´
antos estudiantes estudian ning´
un idioma?
b) (6 puntos) ¿Cu´
antos estudiantes ten´ıan al Lat´ın como u
´nico idioma de estudio?
c) (6 puntos) ¿ Cu´
antos estudiantes aprend´ıan Ruso o Ingl´es pero no Lat´ın?
d ) (6 puntos) Represente el problema mediante undiagrama de Venn.
4
3.
a) (12 puntos) Realice un diagrama de Venn para los conjuntos
(A ∩ C) − B y (A − B) ∩ (C − B)
b) (13 puntos) Utilizando igualdades de conjuntos (propiedades) y simplificando, demostrar (A ∩ C) − B = (A − B) ∩ (C − B)
4.
a) (12 puntos) Dada la funci´on proposicional ∃ x ∈ Z : x2 − 1 = 0. Determine el conjunto
de elementos x ∈ Z que satisfacen la igualdad. Adem´as niegue lafunci´on proposicional.
b) (13 puntos) Dado el conjunto A = {−1, 1, 2}, y la funci´on proposicional ∃ x ∈ A, ∀y ∈
A : x ≤ y 2 , determine su valor de verdad y niegue la funci´on proposicional.
5
1.2.
1.
Pauta Certamen 1A
a) (10 puntos) Dadas p, q, r tres proposiciones tales que:
p: es verdadera (V),
q: es falsa (F),
r: es verdadera (V)
Determine el valor de verdad de la proposici´oncompuesta, justificando cada paso que
realice
((¬p ∧ r) → ¬q) ←→ (p → (q ∨ r))
Soluci´
on:
((¬p ∧ r) → ¬q)
((∼ V ∧ V ) →∼ F )
((F ∧ V ) → V )
(F → V )
V
←→ (p → (q ∨ r))
←→ (V → (F ∨ V ))
←→ (V → (F ∨ V ))
←→
(V → V )
←→
V
V
El valor de verdad de la proposici´on compuesta es VERDADERO.
b) (15 puntos) Determine si las proposici´on [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p es Tautolog´ıa, Contingencia o Contradicci´
on.Justifique sus pasos
Soluci´
on:
p q ∼p
V V
F
V F
F
F V
V
F F
V
∼q
F
V
F
V
p→q
V
F
V
V
[p → q] ∧ ¬q
F
F
F
V
[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
V
V
V
V
Seg´
un la u
´ltima columna derecha del cuadro, la proposici´on compuesta es una TAUTOLOG´IA.
2. En una encuesta realizada a un grupo de 100 estudiantes, la cantidad de personas que estudiaban varios idiomas fueron las siguientes:
Ruso 28
Lat´ın 42
Ruso y...
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