Certamenes De Probabilida De Años Anteriores Usm

Universidad T´cnica Federico Santa Mar´ e ıa
Departamento de Matem´tica/ Campus Vitacura a

Recopilaci´n Evaluaciones o
Ejercicios resueltos del curso:

Probabilidad y Estad´ ıstica 2009-2010

Recopilado por: Francisca Gonz´lez L´pez a o

Santiago, April 8, 2011

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Estad´ ıstica Descriptiva
1. La tablapresentada a continuaci´n representa el consumo de energ´ el´ctrica de 80 usuarios: o ıa e Consumo (Kwh) 05 - 25 25 - 45 45 - 65 65 - 85 85 - 105 105 - 125 125 - 145 145 - 165 Total N´mero de usuarios u 04 06 14 26 14 08 06 02 80

(a) Determine la media y la mediana de la variable consumo. (b) Calcule el percentil 25 y 75 para la variable consumo. (c) Calcule la desviaci´n est´ndar de lavariable consumo. o a (d) ¿Qu´ porcentaje de usuarios consumen m´s de 90 Kwh ? e a Soluci´n: o Ya que los datos est´n agrupados los c´lculos son como sigue: a a (a) La media del consumo de energ´ es ıa x= 1 M C i · ni n 1 = (15 · 4 + 35 · 6 + 55 · 14 + 75 · 26 + 95 · 14 + 115 · 8 + 135 · 6 + 155 · 2) 80 = 79.5

La mediana debe ubicarse en la clase 4, 65-85, ya que esta clase es la primera en obteneruna frecuencia relativa acumalada mayor al 50% (62.5%) y su valor se calcula: M e = lM e +
− n/2 − NM e ·I nM e 80/2 − 24 · 20 = 65 + 26 = 77.3

(b) Calculamos P25 y P75 . La clase 3 acumula un 30% por lo que en ella se encunetra el primer cuartil.

Probabilidad y Estad´ ıstica

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P25

− n ∗ q/100 − Nq ·I = lq+ nq 80 · 25/100 − 10 · 20 = 45 + 14 = 45 + 14.28 = 59.28

y el tercer cuartil est´ en la clase 5, 85-105, por lo tanto a P75
− n ∗ q/100 − Nq = lq + ·I nq 80 · 75/100 − 50 = 85 + · 20 6 = 85 + 14.28 = 99.28

(c) Calculamos la varianza: s2 = 1 ni M Ci2 − x2 n 1 ˙ = · (4 · 152 + 6 · 352 + 14 · 552 + 26 · 752 + 14 · 952 + 8 · 1152 + 6 · 1352 + 21552 ) − 79.52 n = 7330 − 6320.25 = 1009.75Por lo tanto la desviaci´n est´ndar es 31.77. o a (d) Lo que queremos es el valor tal que Pq = 90, por lo tanto en la ecuaci´n o Pq = 90 = lq +
− n ∗ q/100 − Nq ·I nq

debemos encontrar el valor de q. La clase a la que corresponde es la C5 , por lo tanto 80 ∗ q/100 − 50 · 20 = 90 14 80 ∗ q/100 − 50 90 − 85 = 14 20 80 ∗ q/100 − 50 = 0.25 · 14 q = (3.5 + 50) · q = 66.87 Es decir, alrededor del 67%consume menos de 90 Kwh, y por lo tanto, el 33% consume m´s de 90 Kwh. a Probabilidad y Estad´ ıstica 2 100 80

Pq = 85 +

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2. El departamento de personal de una cierta firma realiz´ un estudio sobre los salarios, en o unidades monetarias(u.m.) de 120 funcionarios del sector administrativo, con los siguientesresultados : Salario / Salario M´ ınimo 0-2 2-4 4-6 6-10 Frecuencia Relativa 0.25 0.40 0.20 0.15

(a) Calcule la media, mediana, varianza y desviaci´n est´ndar. o a (b) ¿Qu´ ocurre con la media si se aumentan los salarios en 100%?, ¿y con la varianza?. e Justifique. (c) ¿Qu´ ocurre con la varianza si se aumentan los salarios en 0.8 u.m.? Justifique. e Soluci´n: o (a) Completamos la tabla Salario / SalarioM´ ınimo 0-2 2-4 4-6 6-10 Aplicando las f´rmulas tenemos que: o 1 X= n Me = lMe +
2 n 2 k

M Ci 1 3 5 8

ni 30 48 24 18

fi Ni Fi 0.25 30 0.25 0.40 78 0.65 0.20 102 0.85 0.15 120 1

ni M Ci = 3.65
i=1 120 2

− − NMe I =2+ nMe k i=1

− 30 2 = 4.5 48

s = Por lo tanto, s = 2.264

ni (M Ci − X)2 = 5.12 n

(b) Si los salarios aumentan en un 100% quiere decir que el salario seaumenta al doble, por

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lo que ahora en vez de contar con M Ci contamos con M Ci∗ = 2M Ci . As´ la media ser´ ı, a x∗ = 1 n 1 n
k

ni M Ci∗
i=1 k

=

ni 2M Ci
i=1 k

1 =2· n

ni M Ci
i=1

=2·x = 2 · 3.65 = 7.3 Por lo tanto la media aumenta al doble. Para la varianza,...