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Análisis Matemático
Derivadas
Rectas Tangentes

En la gráfica

En la gráfica se muestra una recta tangente
que toca a la curva f(x) en un punto P(a,b).
Se podrá hallar una ecuación de la recta
tangente t tan pronto como se conozca su
pendiente m.

Y
Q(x,y)

y=f(x)

t

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

P(a,b)
∝

O
𝑦−𝑦1
𝑥−𝑥1

= 𝑚

X

ecuación de la recta conocidos dospuntos

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Derivadas
Rectas Tangentes
De la gráfica

Y
y=f(x)

t

Q(x,y)

Dado un punto Q(x,y) perteneciente a la
curva y Q≠P. La recta PQ es secante a la
curva.

Q(x,y)
y=f(x)
P(a,b)
O

t
X

P(a,b)

Análisis Matemático
Derivadas
Rectas Tangentes

En la gráfica

t

Y
y=f(x)

Al aproximarse el punto Q a P a lo largo de la
curva, la rectasecante se asemeja cada vez
más a la trayectoria que tiene la curva

Q(x,y)
P(a,b)
O

y=f(x)
X
Q(x,y)
P(a,b)

Si la pendiente 𝑚 =

(𝑦−𝑏)
(𝑥−𝑎)

=

𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑌
𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑋

=

Δ𝑦
Δ𝑥

, entonces la pendiente de la tangente

es el límite de las pendientes de la recta secante.
𝑚 = lim 𝑚 𝑃𝑄
𝑄→𝑃

Análisis Matemático
Derivadas
Rectas Tangentes
Por lo tanto𝑦− 𝑏
𝑚 = lim
𝑥→𝑎 𝑥 − 𝑎

Y
Q(x,y)

f(x)

𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = ∆𝑦

P(a,b)

f(a)

O

𝑥 − 𝑎 = ∆𝑥
a

x

X

De la gráfica se obtiene
𝑚 = lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥− 𝑎

Si 𝑥 − 𝑎 = ∆𝑥, entonces 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥 , luego otra forma de
expresión esta dada por

𝑚 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
∆𝑥

Análisis Matemático
Derivadas
Rectas Tangentes
Ejemplo

Hallar una ecuaciónde la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 3 − 2𝑥 + 3 en el punto (1,2)
𝑚 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑓 1 + ∆𝑥 − 𝑓(1)
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥
∆𝑥
( (1 + ∆𝑥)3 +2 1 + ∆𝑥 + 3) − (13 − 2 1 + 3)
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥
1 + ∆𝑥 + 3∆𝑥 2 + ∆𝑥 3 − 2 − 2∆𝑥 + 3 − 2
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥

ℎ + 3∆𝑥 3 + ∆𝑥 2
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥
= lim 1 + 3∆𝑥 + ∆𝑥 2 = 1
∆𝑥→0

Análisis Matemático
Derivadas
Definición de derivada
Se havisto que la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (a, f(a)) se
puede escribir como
𝑚 = lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎)
∆𝑥

Este tipo de límite ocurre de manera extensa y recibe el nombre y notación especial

La derivada de una función f en un número a, denotada por f’(a) es
𝑓 ′ 𝑎 = lim

∆𝑥→0

Si el límite existe

𝑓 𝑎 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑎)
∆𝑥

Análisis MatemáticoDerivadas
Definición de derivada
En general, se entiende por derivada de una función y=f(x) al límite de la relación del
incremento Δx de su variable independiente x, cuando este incremento Δx tiende
indefinidamente a cero. Así, suponemos que la función f(x) es continua y damos a x un
incremento Δx, recibirá la función y un incremento Δy, entonces se tiene

𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥)
∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑦∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
que es el valor del incremento de la función.
Dividiendo la ecuación anterior por Δx, se obtiene:
Δ𝑦
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)
=
Δ𝑥
∆𝑥
que es la relación del incremento de la función al incremento de la variable

Análisis Matemático
Derivadas
Definición de derivada
El valor que toma

lim

Δ𝑦
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
= lim
Δ𝑥
∆𝑥

Cuando Δx tiende a cero, es cuando Δx esindefinidamente pequeño, es la “Derivada de la
función”

La de derivada de una función, tal como 𝑦 = 𝑓(𝑥) se representa mediante
𝑦′,

𝑑𝑦
,
𝑑𝑥

𝑓′ 𝑥 ,

𝑑𝑦
𝑥
𝑑𝑥

que se leen la derivada de y, o de f(x) respecto de x, o bien derivada de y o de f(x)

Análisis Matemático
Derivadas
Ejemplo
Hallar la derivada de la función 𝑦 = 5𝑥 2 + 2
Pasos
1º

2º

𝑦 + ∆𝑦 = 5(𝑥 + ∆𝑥)2 +2

∆𝑦 = 5(𝑥+ ∆𝑥)2 + 2 − (5𝑥 2 + 2)
= 5𝑥 2 + 10𝑥∆𝑥 + 5∆𝑥 2 + 2 − 5𝑥 2 − 2 = 10𝑥∆𝑥 + 5∆𝑥 2

3º

Δ𝑦
Δ𝑥

= 10𝑥 + ∆𝑥

4º

Δ𝑦
Δ𝑥

= 10𝑥

Análisis Matemático
Derivadas
Teorema
El incremento de toda función continua de una variable es igual al incremento de la
variable multiplicado por la derivada de la función aumentada en una cantidad que se
anula con el incremento de la...