CG_mat022 2007 2

è

Certamen Global Mat 022
14/12/2007

æ Parte I . (10 puntos cada problema )
æ i) Determine el área encerrada por las gráficas de las funciones:
y = 3x - x2 , y = 3 x2 - x3 entre las rectas x = 0 ,x = 3
37
Respuesta: ÅÅÅÅ
ÅÅ
12

æ ii) La base de un sólido es la región encerrada entre un arco de y = sen(x)
y el eje x. Cada sección transversal perpendicular al eje x es un triángulo
equiláteroapoyado en esta base. Encuentre el volumen de dicho sólido.
è!!!!!

p 3
Respuesta: ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ
8

æ iii) Para a > 0 , calcule la longitud de la espiral r = a q 2 desde q = 0
hasta q = 2 p. Dibuje lacurva.
3

8a
Respuesta: ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ (-1+H1 + p 2 L ÅÅ2ÅÅÅ )
3

æ iv) Determine
1

Ä1ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ‚ q
a) ‡ ÄÄÄÄÄÄÄÄ
"###############
0

1-q 2

b) Ÿ ÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄ ‚ x , a , b reales.
b2 + x
a2 - x

pRespuesta a) ÅÅÅÅÅ
2

b) -(x - (a2 +b2 ) ln | b2 +x | + C

æ v) Demuestre que la suma

1
ÄÄÄÄÄÄ - ÄÄÄÄ1ÄÄÄÄÄÄ M es iual a - ÄÄÄÄ1
‚n= 2 I ÄÄÄÄ
n+ 2
n+ 1
3

•

Respuesta: Es una serie telescópica por locual su suma es: limnض ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅÅÅ
n+2

- ÅÅÅÅ1
3

æ vi) ¿Hacia qué número converge la serie:
p
p
p
p
( ÄÄÄÄÄ
) - ( ÄÄÄÄÄ
) + ( ÄÄÄÄ
ÄÄ ) - ( ÄÄÄÄ
ÄÄ ) + ...........?
2
6
18
54
3p
Respuesta: Es unaserie geométrica cuya suma es : ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ
8

æ vii) Encuentre el radio y el intervalo de convergencia de la serie de potencias
H- 1L 2 k x
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
‚k= 0 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
3k

•

k

k

Respuesta: Elradio de convergencia es R = 3 y el intervalo de convergencia es ] -3 , 3 [

RespuestasCertamenGlobal.nb

2

æ Parte II. (10 puntos cada problema)
÷÷◊ ÷ ◊ ÷ ◊

æ viii) Sean A , B , C vectores nonulos de longitudes a, b, c respectivamente y supongase que:
÷÷◊ ÷ ◊
÷◊ ◊
A +B + C =0 .

Demuestre que :

÷÷◊ ÷ ◊ c2 - a2 - b2
A ä B = ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
2

÷ ◊ ÷ ◊ ÷◊ ÷ ◊
÷÷◊ ÷ ◊ ÷◊
Respuesta:De la hipótesis se obtiene: A ä A + B ä A + C ä A = 0 . De esto:
÷ ◊ ÷◊
÷÷◊ ÷ ◊
÷◊ ÷ ◊
÷ ◊ ÷÷◊
B ä A = - a2 - C ä A ( 1) . Análogamente : C ä A = - c2 - B ä C
÷ ◊ ÷◊
÷◊ ÷ ◊
y B ä C = - b2 - A ä B ....