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Capítulo 2
LAS MATEMÁTICAS DE LA
OPTIMIZACIÓN

1

Las Matemáticas de la
Optimización
• Muchas teorías económicas comienzan
con la suposición de que un agente
económico está tratando de encontrar el
valor óptimo de una función
– los consumidores buscan maximizar la utilidad
– las empresas buscan maximizar el beneficio

• En este capítulo veremos las matemáticas
comunes a estos problemas
2Maximización de una Función
con Una Variable
• Un ejemplo simple: El Gerente de un
empresa desea maximizar el beneficio
  f (q)


Maximizar beneficio
de * dado un q*

*
 = f(q)

q*

Cantidad
3

Maximización de una Función
con Una Variable
• es probable que el gerente trate de variar q
para ver donde se produce el máximo beneficio
– un aumento de q1 a q2 conduce un aumento de 



0
q

*2

 = f(q)

1

q1

q2

q*

Cantidad
4

Maximización de una Función
con Una Variable
• un incremento de la producción por encima
de q*, reduce el beneficio
– un incremento de q* a q3 lleva a una caída en 



0
q

*
 = f(q)
3

q*

q3

Cantidad
5

Derivadas
• La derivada de  = f(q) es el límite de
/q para cambios muy pequeños en q
d df
f ( q1  h)  f ( q1 )

lim
dq dq h  0
h

• Elvalor de esta relación depende del
valor de q1
6

Valor de la Derivada en un Punto
• El valor de una derivada en un punto q
= q1 se escribiría
d
dq q q

1

• En nuestros ejemplos anteriores,
d
0
dq q q
1

d
0
dq q q
3

d
0
dq q q *
7

Condición de Primer Orden para
un Máximo
• Para que una función de una variable
alcance su valor máximo en cierto punto,
la derivada en dicho punto debeser cero

df
0
dq q q *

8

Condición de Segundo Orden
• La condición de primer orden (d/dq) es
una condición necesaria para maximizar,
pero no es una condición suficiente


Si la función de utilidad tiene forma de u,
la condición de primer orden resultaría
en q* se elegiría y  proporciona
un mínimo

*

q*

Cantidad
9

Condición de Segundo Orden
• Esto debe significar que, en order de q*para ser el óptimo,
d
 0 para q  q *
dq

y

d
 0 para q  q *
dq

• Por lo tanto, en q*, d/dq debe ser
decreciente
10

Segundas Derivadas
• La derivada de la derivada es llamada
segunda derivada
• La segunda derivada puede escribirse
así
d 2 d 2 f
o
o f " (q)
2
2
dq
dq

11

Condición de Segundo Orden
• La condición de segundo orden
representa un máximo (local)
2

d 
f " (q ) q q *  02
dq q q *

12

Reglas para el cálculo de
Derivadas

db
1. Si b es una constante, entonces
0
dx

d [bf ( x)]
2. Si b es una constante, entonces
bf ' ( x)
dx

dx b
3. Si b es una constante, entonces
bx b  1
dx
d ln x 1
4.

dx
x

13

Reglas para el cálculo de
Derivadas
x

da
5.
a x ln a para cualquier constante a
dx
– un caso especial de esta regla es dex/dx = ex

14

Reglas para elcálculo de
Derivadas

• Suponga que f(x) y g(x) son dos
funciones de x y f’(x) y g’(x) existen
• Entonces
d [f ( x )  g ( x )]
6.
f ' ( x )  g ' ( x )
dx
d [f ( x ) g ( x )]
7.
f ( x )g ' ( x )  f ' ( x )g ( x )
dx

15

Reglas para el cálculo de
Derivadas
 f ( x) 

d 
g ( x)  f ' ( x) g ( x)  f ( x) g ' ( x)

8.

dx
[ g ( x)]2
siempre y cuando g ( x) 0

16

Reglas para el cálculo deDerivadas

• Si y = f(x) y x = g(z) y si ambos f’(x) y
g’(x) existen, entonces:
dy dy dx df dg
9.
   
dz dx dz dx dz

• Esto se conoce como la regla de la
cadena. La regla de la cadena nos
permite estudiar cómo una variable (z)
afecta a otra variable (y) mediante su
influencia sobre alguna variable
intermedia (x)

17

Reglas para el cálculo de
Derivadas

• Algunos ejemplos de la regla de lacadena incluyen
de ax
de ax d (ax )
10.


e ax a ae ax
dx
d (ax ) dx

d [ln(ax )] d [ln(ax )] d (ax )
11.


ln(ax ) a a ln(ax )
dx
d (ax )
dx
2

2

2

d [ln( x )] d [ln( x )] d ( x ) 1
2
12.


 2 2 x 
2
dx
d(x )
dx
x
x

18

Ejemplo de Maximización de
Beneficios

• Suponga que la relación entre el beneficios
y la producción es
 = 1,000q - 5q2

• condición de primer orden para un...