Chaitin Ordenadores Y Paradojas

Ordenadores, paradojas
y fundamentos
de las matemáticas
Grandes pensadores del siglo XX han demostrado que la incompletitud
y la aleatoriedad medran incluso en el mundo austero de la matemática
Gregory J. Chaitin

T

odos saben que los ordenadores son
aparatos muy prácticos. Tanto, que
se han vuelto indispensables en el
funcionamiento de una sociedad moderna. Pero hasta los informáticos
hanolvidado —exagero, pero sólo un poco—
que fueron inventados para que ayudasen a
aclarar una cuestión filosófica concerniente
a los fundamentos de la matemática. ¿Sorprendente? Sí, en verdad.
Comienza esta asombrosa historia con
David Hilbert, un célebre matemático alemán,
que a principios del siglo XX propuso la
formalización completa de todo el razonamiento matemático. Pero resultó que era
imposibleformalizar el razonamiento matemático, por lo que, en cierto sentido, su
idea fue un tremendo fracaso. Mas, en otro
sentido, tuvo un gran éxito, porque el formalismo ha sido uno de los grandes dones
que nos ha hecho el siglo XX. No para el
razonamiento o la deducción matemática,
sino para la programación, para el cálculo,
para la computación. Una pieza olvidada de
la historia intelectual.
Mepropongo referir aquí esa historia sin
detenerme en los detalles de índole matemática. Será, pues, imposible explicar plenamente la obra de quienes hicieron las aportaciones fundamentales, entre ellos Bertrand
Russell, Kurt Gödel y Alan Turing. Aun así,
el lector paciente debería poder captar la
esencia de sus argumentos y comprender en
qué se inspiraron algunas de mis propias ideas
sobre laaleatoriedad inherente a la matemática.
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Las paradojas lógicas
de Russell
oy a empezar con Bertrand Russell,
matemático que al pasar el tiempo se
tornaría filósofo, primero, y por último, humanista. Russell constituye una figura clave
porque descubrió algunas paradojas muy
perturbadoras en la lógica misma. Es decir,
halló casos en los que razonamientos en
apariencia impecables conducen a contradicciones.Las aportaciones de Russell fueron fundamentales para que se difundiese la
idea de que estas contradicciones causaban

V

INVESTIGACIÓN

Y

CIENCIA, julio, 2003

1. MANOS QUE DIBUJAN, obra creada por M. C. Escher en
1948, proporciona una analogía visual de la “paradoja de
Russell”, así llamada en recuerdo del matemático británico
Bertrand Russell. Planteó a sus coetáneos de principios del
sigloXX este problema lógico, que más tarde inspiraría los
trabajos de Kurt Gödel, de Alan Turing y del autor sobre
los límites de las matemáticas. Una de las formas que toma

la paradoja de Russell es el par de enunciados: “La oración
siguiente es falsa. La oración anterior es verdadera.” Cada
aserto, por separado, parece razonable (es decir, puede ser
verdadero o falso); en cambio no es posibleevaluar su verdad o falsedad al tomarlos conjuntamente. Es su combinación la que origina la paradoja, lo mismo que las dos manos del dibujo de Escher.

una crisis grave y habían de ser resueltas de algún
modo.
Las paradojas que Russell descubrió atrajeron mucho la atención en los círculos matemáticos, pero, curiosamente, tan sólo una de ellas acabó llevando su
nombre. Consideremos el conjunto de todoslos conjuntos que no son un elemento de sí mismos. Preguntemos
entonces: “¿Es este conjunto elemento de sí mismo?”.
Si fuera elemento de sí mismo, no lo sería, y recíprocamente.
El conjunto de todos los conjuntos mencionados en
la paradoja de Russell encuentra un símil en el barbero de un pueblo pequeño y apartado: el barbero rasura a todos los hombres que no se afeitan ellos mismos. Taldescripción parece francamente razonable hasta

que se pregunta: “¿Se afeita el barbero a sí mismo?”.
Se afeita a sí mismo si, y solamente si, no se afeita a
sí mismo. Desde luego, se podría decir: “¿Y a quién
le importa ese hipotético barbero? ¡Todo eso no es
más que un absurdo juego de palabras!”. Pero cuando
lo que se está dilucidando es el concepto matemático
de conjunto, no resulta tan fácil dejar de...