Chan

Condiciones suficientes de existencia para la transformcion de laplace
Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace
Antes de establecer las condiciones para la existenciade la transformada de Laplace es esencial entender dos conceptos fundamentales que constituyen la base de la transformada de Laplace. Estos son:
Función continua a trozos: Se dice que una función esa trozoso seccionalmente continua en un intervalo finito a <= t <= b si el intervalo se puede subdividir en un número finito de subintervalos, en cada uno de los cuales f(t) es continua y tienelímites izquierdos, así como límites derechos.

Considera una función f(t) que es continua a trozos en [a, b], pero presenta discontinuidades en algunos puntos.
Claramente, f(t) es continua en losintervalos (a, A), (A, B), (C, y), (y, D) y (D, b). También los límitesderechoe izquierdo de A son,
f(A + t) = f(A + 0) = f(A)

f(A - t) = f(A - 0) = f(A)
Aquí el valor de t es siempre positivo.
2. Funcionesde orden exponencial: Se dice que una función es de orden |f(t)|≤Meªt

Por otra parte, f(t) es de orden exponencial si existe un tal que



Aquí l = 0 o a un número positivo finito.
Sea f(t) es unafunción continua a trozos en cada intervalo finito del rango t>= 0 y es de orden exponencial cuando el valor de t se aproxima al infinito. Entonces,la transformada de Laplace de f(t) existe para cadavalor de s, el cual es mayor que .
El teorema anterior también puede ser probado. Puesto que f(t) es continua a trozos para e-st f(t) es integrable en cualquier intervalo finito del eje t. Además, comof(t) es de orden exponencial , tenemos que,
|f(t)|≤Meᵅt
Ahora,
| L{f(t)} | = | e-st f(t) dt |
e-st | f(t) | dt

M e-stdt

= M dt

= M/ (s - )
Aquí, la condición de que s fuera mayor queera necesaria para la existencia de la última integral. Por lo tanto, el teorema queda demostrado.
Sin embargo las condiciones mencionadas en el teorema son suficientes pero no necesarias para la...