Chaolin

. Tal cómo hemos visto antes, la integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas.
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva,mientras que la integral puede ser positiva, negativa o
nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debe tenerse en cuenta el signo de cada unode los recintos limitados por el eje OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área.
Ejemplo 1 :
a) Hallar el área de la región limitada por lacurva y x 2 , el eje OX y las rectas x 2 y x 4 .
b) Hallar el área de la región limitada por la curva y x x x 3 2 3 3 y el eje OX en el intervalo13, .
c) Hallar el área delimitada por la gráfica de y x cos y el eje OX , en el intervalo 0 2 , .
Con escasas modificaciones podemos extender la aplicación de laintegral definida para cubrir no sólo el
área de la región bajo una curva, sino el de una región comprendida entre dos curvas. Por tanto, obtenemos
el siguienteresultado :
Teorema (Área de una región entre dos curvas): Si f y g son funciones continuas en a b , y se verifica
que g x f x x a b ( ) ( ) , , entonces elárea de la región limitada por las gráficas de f y g , y las rectas
verticales x a y x b , es :
A fx gx dx
a
b
( ) ( ) n
Observaciones:
a) Esimportante darse cuenta de que la validez de la fórmula del área depende sólo de que f y g
sean continuas y de que g x f x ( ) ( ) .
b) Las gráficas de f y g pueden estarsituadas de cualquier manera respecto del ejeOX .
c) Si, cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que g x f x ( ) ( ) y otras veces que f x g x ( ) ( ) ,