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Fundamentos Matem´aticos II Tema 2: N´umeros
Reales
Robin Banerjee Fdez.–Bordas
E.T.S.I. Telecomunicaci´on, U.P.M.
rbf@mat.upm.es
Septiembre 2009

´
Indice
1. Axiomas algebraicos de R

1

2. Axiomas de orden de R

3

3. Enteros y racionales

6

4. El axioma de completitud

9

1.

Axiomas algebraicos de R

Axiomas de la suma
Sea R un conjunto y definamos una operaci´on de composici´on internasuma
+ : R → R sobre las que postulamos los siguientes axiomas:
A1. ∃0 ∈ R : ∀a ∈ R, a + 0 = 0 + a = a;
A2. ∀a ∈ R ∃a ∈ R : a + a = a + a = 0;
A3. ∀a, b, c ∈ R, (a+b)+c = a+(b+c);
A4. ∀a, b ∈ R, a + b = b + a;
Obs´ervese que el elemento 0 postulado en A1. es u´ nico, ya que si 0 es otro
tal elemento, entonces 0 = 0 + 0 = 0 . Denominamos a este elemento cero.
El elemento a cuya existencia se postula enA2. es tambi´en u´ nico ya que si
c tambi´en es tal que a + c = c + a = 0, entonces, sumando a a ambos lados
tenemos (a + c) + a = (c + a) + a , es decir 0 + a = c + (a + a ), o sea
a = c + 0 = c. Este elemento se denota −a y se denomina opuesto de a.
As´ı, la sustracci´on se introduce tomando (a − b) := (a + (−b)).

Dados x1 , x2 , . . . , xn ∈ R es posible construir su suma, empleandorepetidamente A3, como (x1 + · · · xn−1 ) + xn y usando repetidamente A3 y A4
mostrar inductivamente que dicha suma no depende del orden. As´ı el s´ımbon

xj := x1 + · · · + xn est´a bien definido.

lo
j=1

Axiomas del producto
Sea R un conjunto y definamos una operaci´on de composici´on interna producto
· : R → R sobre las que postulamos los siguientes axiomas:
P1. ∃e ∈ R − {0} : ∀a ∈ R, a · e = e · a =a;
P2. ∀a ∈ R − {0} ∃a ∈ R : a · a = a · a = e;
P3. ∀a, b, c ∈ R, (a · b) · c = a · (b · c);
P4. ∀a, b ∈ R, a · b = b · a;
De nuevo, el elemento e postulado en P1 es u´ nico (ejercicio). Denominamos
a este elemento elemento unidad.
An´alogamente, el elemento a cuya existencia se postula en P2 es tambi´en
u´ nico (ejercicio). Este elemento se denota a−1 y se denomina inverso de a.
N´otese que elinverso de cero NO ESTA DEFINIDO
Como con la suma, dados x1 , x2 , . . . , xn ∈ R es posible construir su producto como nj=1 xj := x1 · · · xn . En particular, un n´umero a multiplicado
por s´ı mismo n veces es an := a · a · · · a. Si a = 0 definimos a0 := 1 y,
entonces, para m, n ∈ N tenemos am+n = an + am . Finalmente, definimos
m
a−m := a−1 .
Suele escribirse ab en lugar de a · b, y la divisi´onse introduce tomando
a
:= ab−1 . Si a = 0 escribimos tambi´en a−1 = a1 .
b
Suma y producto: Axioma de distributividad
En R las dos operaciones suma + : R → R y producto · : R → R se
relacionan mediante el siguiente axioma de distributividad:
AD. ∀a, b, c ∈ R, (a + b) · c = a · c + b · c.
Ahora se ha de tener que ∀x ∈ R, 0x = 0, ya que 0x + x = 0x + ex =
(0 + e)x = ex = x. Y sumando −x a amboslados tenemos 0x = 0.
Tambi´en, a partir de que −e + e = 0, podemos demostrar que (−e)(−e) = e
y, que entonces, tambi´en ∀x, y ∈ R, (−x)(−y) = xy (ejercicio).
Es posible generalizar, por inducci´on, la distributividad a varios factores.
As´ı, es posible probar x (y1 + y2 + · · · + yn ) = xy1 + xy2 + · · · + xyn .
2

Y a´un m´as, escribir (x1 + · · · + xm )(y1 + · · · + yn ) = x1 y1 + · · · +
n
m
x myn =
j=1 xi yj , donde el orden de la suma es irrelevante, esto
i=1
m
m
n
n
es i=1 j=1 xi yj = nj=1 m
j=1 yj ( i=1 xi ).
i=1 xi yj =
Estructuras algebraicas
El hecho de que R verifique los axiomas A1–A4 se resume diciendo que el
conjunto (R, +) tiene estructura de grupo abeliano.
An´alogamente decimos que (R − {0} , ·) con los axiomas P1–P4 tiene tambi´en estructura de grupo abeliano.
Los axiomasde la adici´on A1–A4 junto con los del producto P1–P4 y el
axioma de distributividad AD confieren al conjunto (R, +, ·) la estructura de
un cuerpo conmutativo.
Es importante destacar que mediante estos axiomas es posible probar todas las
propiedades de las operaciones de R que son conocidas.

2.

Axiomas de orden de R

Axiomas de orden
Suponemos dado un subconjunto P ⊂ R que denominaremos...