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DIAGRAMA DEL LUGAR DE LAS RAICES.

Sea un sistema para el que se conoce su función de transferencia de lazo abierto (G·H), habiendo sido obtenida, por ejemplo, mediante el diagrama de Bode de forma experimental. Se añade al sistema un término proporcional (Kc) como parámetro variable para determinar el diagrama del lugar de las raices, siendo entonces la función de transferencia de lazo cerradola que se indica en la siguiente figura. El denominador de la función de transferencia de lazo cerrado, igualado a 0, recibe el nombre de "ecuación característica", y, como pronto veremos, es la referencia para determinar el lugar de las raices. La función de lazo abierto puede estar compuesta por factores y retardos de primero y segundo orden, factores integrales y derivativos, un factorproporcional o ganancia (Kg), y, si existe y se quiere tener en cuenta, un tiempo muerto. Excepto el término proporcional (Kg) y el tiempo muerto, todos los demás pueden expresarse en función de sus raices como se indica en la tabla de la figura, aunque en los casos de factores integrales y derivativos sus raices son 0. Los factores y retardos de primero y segundo orden añaden un factor de conversiónpara que su ganancia se mantenga igual a 1 cuando se expresan en función de sus raices. Estos factores de conversión coinciden con sus correspondientes frecuencias de cruce si son de primer orden, o con el cuadrado de sus frecuencias naturales si son de segundo orden. Los factores de conversión se multiplican o dividen (según corresponda) para determinar una sola constante, llamada C en la figura.Las raices del numerador de la función de lazo abierto reciben el nombre de "ceros" y han sido identificadas como z1, z2, etc. Las raices del denominador reciben el nombre de "polos" y han sido identificadas como p1, p2, etc.

Con los conceptos que acaban de ser definidos, ya podemos decir que el lugar de las raices se forma con las trayectorias que siguen los polos de lazo cerrado, a medida quela ganancia Kc varía desde 0 hasta infinito. Nótese que los polos de lazo cerrado son las raices de la ecuación característica, ya que por ser el denominador de la función de lazo cerrado, sus raices se consideran polos. La ecuación característica, expresada en función del numerador y denominador de la función de lazo abierto y haciendo común denominador, resulta un cociente de polinomios, que, alser igual a 0, puede quitarse el denominador y quedar en la forma recuadrada según la figura anterior, es decir: den+Kc·num = 0.

El lugar de las raices comienza en las raices de la ecuación característica cuando Kc es igual a 0, de lo que resultará: den+0·num = 0 y por lo tanto: den = 0. Como den es el denominador de la función de lazo abierto, se concluye que el lugar de las raices comienza enlos polos de la función de lazo abierto (p1, p2...), ya conocidos. El lugar de las raices finalizará cuando Kc sea infinito, de lo que resultará: den+infinito·num = 0. Cualquier valor de "s" que no coincida con una raíz del polinomio num, hará a num distinto de 0 y por lo tanto, infinito·num será infinito o -infinito. Este resultado, sumado a den, no puede ser cero y no cumplirá la ecuacióncaracterística. Por lo tanto, las raices cuando Kc llegue a infinito solo pueden ser las del polinomio num, es decir, los ceros de la función de lazo abierto (z1, z2...), ya conocidos. El primer paso para construir el lugar de las raices será dibujar los polos y ceros de la función de lazo abierto, puesto que, como se ha dicho, comenzará en los polos y terminará en los ceros.

Cada valor intermediode Kc entre 0 e infinito hace que la ecuación característica cambie y será muy costoso resolver una cantidad suficiente de "ecuaciones características" como para definir con claridad los recorridos que siguen sus raices. Además, si el grado de la ecuación característica es elevado, se añade otra dificultad porque es dificil resolver ecuaciones con grado superior a 3. Estas dificultades pueden...