cheese and rice
Páginas: 6 (1407 palabras)
Publicado: 3 de noviembre de 2014
CAPÍTULO 3
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN
(Áreas 1, 2 y 3)
En el primer capítulo se estudió el concepto de límite y en el segundo la idea de incrementos. Uniendo estos dos conceptos se llega a la parte medular del contenido de Cálculo diferencial, que es la derivada.
Para representar la derivada existen tres formas, la primera se llama notación de Leibnitz
y es
dy
, que se lee “laderivada de y con respecto a x” , aunque abreviadamente suele decirse
dx
únicamente “la derivada de y” ; la segunda es la notación de Lagrange que es y ' ; y finalmente
la tercera es la notación debida a Cauchy que es Dx y . La que se empleará en este curso es la
primera.
Se define la derivada como el límite, cuando Δx tiende a cero, del cociente de los incrementos Δy entre Δx , que ennotación matemática se escribe como
dy
Δy
= lim
dx Δx →0 Δx
45
La derivada
Para explicar su significado, se empleará un ejemplo numérico. Sea y = x 2 . Obteniendo
el incremento Δy conforme lo visto en el capítulo anterior se tiene que
y = x2
y + Δy = ( x + Δx )
2
Δy = ( x + Δx ) − y
2
Δy = ( x + Δx ) − x 2
2
Δy = x 2 + 2 xΔx + Δx 2 − x 2
Δy = 2 xΔx + Δx 2(3.1)
Esta fórmula es la que se empleará en las siguiente tablas para obtener el valor del incremento Δy de la variable y , en donde debe tomarse en cuenta que x representa el valor inicial.
A continuación se elaborarán varias tablas, como se hizo en el capítulo I al explicar el
concepto de límite, solamente que ahora contendrán tres filas para poder ver hacia dónde se acerca el cociente
Δycuando el incremento de x tiende a cero. Dando un valor inicial arbitrario a
Δx
la variable x , por ejemplo x = 4 , cuando el incremento de x es Δx = 0.1 , el incremento Δy
se obtiene empleando la fórmula (3.1) haciendo
Δy = 2(4)(0.1) + (0.1) 2 = 0.81
de la misma forma para cuando Δx = 0.01
46
La derivada
Δy = 2(4)(0.01) + (0.01) 2 = 0.0801
o para Δx = 0.001 , cuyos valores seconcentran en la siguiente tabla:
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
0.81
0.0801
0.008001
0.000000000008000000000001
Δy
Δx
8.1
8.01
8.001
8.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
Entonces lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 8.
Δx
Δy
= 8 , para el valor inicial de x = 4 .
Δx
Repitiendo el procesocon un nuevo valor inicial, por ejemplo para x = 5 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
1.01
0.1001
0.010001
0.000000000010000000000001
Δy
Δx
10.1
10.01
10.001
10.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
Entonces lim
Δx → 0
Δy
= 10 , para el valor inicial de x = 5 .
Δx
47
etc..
Δy
se aproxima a10.
Δx
La derivada
Repitiendo el proceso con otro valor inicial, por ejemplo para x = 7 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.00000000001
Δy
1.41
0.1401
0.014001
0.0000000001400000000001
Δy
Δx
14.1
14.01
14.001
14.00000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
Entonces lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 14.
Δx
Δy
= 14, para el valor inicial de x = 7 .
Δx
Se pueden sintetizar los resultados de las anteriores tablas de la manera siguiente:
Para x = 5:
Para x = 4:
lim
Δx → 0
Δy
=8
Δx
lim
Δx → 0
Δy
= 10
Δx
Para x = 7:
lim
Δx → 0
Δy
= 14
Δx
En cada caso existe una regularidad: el cociente de los incrementos Δy entre Δx siempre tiende al doble del valor inicial de x ,es decir, el límite siempre es el doble del valor de x , lo
cual puede escribirse en términos genéricos como
lim
Δx → 0
Δy
= 2x
Δx
y como este límite es la derivada de la función en cuestión (en este caso, y = x 2 ), entonces
48
La derivada
dy
= 2x
dx
En resumen: la derivada de la función y = x 2 es 2x .
3.2 DERIVADA POR INCREMENTOS (Áreas 1, 2 y 3)
Dado que por...
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN
(Áreas 1, 2 y 3)
En el primer capítulo se estudió el concepto de límite y en el segundo la idea de incrementos. Uniendo estos dos conceptos se llega a la parte medular del contenido de Cálculo diferencial, que es la derivada.
Para representar la derivada existen tres formas, la primera se llama notación de Leibnitz
y es
dy
, que se lee “laderivada de y con respecto a x” , aunque abreviadamente suele decirse
dx
únicamente “la derivada de y” ; la segunda es la notación de Lagrange que es y ' ; y finalmente
la tercera es la notación debida a Cauchy que es Dx y . La que se empleará en este curso es la
primera.
Se define la derivada como el límite, cuando Δx tiende a cero, del cociente de los incrementos Δy entre Δx , que ennotación matemática se escribe como
dy
Δy
= lim
dx Δx →0 Δx
45
La derivada
Para explicar su significado, se empleará un ejemplo numérico. Sea y = x 2 . Obteniendo
el incremento Δy conforme lo visto en el capítulo anterior se tiene que
y = x2
y + Δy = ( x + Δx )
2
Δy = ( x + Δx ) − y
2
Δy = ( x + Δx ) − x 2
2
Δy = x 2 + 2 xΔx + Δx 2 − x 2
Δy = 2 xΔx + Δx 2(3.1)
Esta fórmula es la que se empleará en las siguiente tablas para obtener el valor del incremento Δy de la variable y , en donde debe tomarse en cuenta que x representa el valor inicial.
A continuación se elaborarán varias tablas, como se hizo en el capítulo I al explicar el
concepto de límite, solamente que ahora contendrán tres filas para poder ver hacia dónde se acerca el cociente
Δycuando el incremento de x tiende a cero. Dando un valor inicial arbitrario a
Δx
la variable x , por ejemplo x = 4 , cuando el incremento de x es Δx = 0.1 , el incremento Δy
se obtiene empleando la fórmula (3.1) haciendo
Δy = 2(4)(0.1) + (0.1) 2 = 0.81
de la misma forma para cuando Δx = 0.01
46
La derivada
Δy = 2(4)(0.01) + (0.01) 2 = 0.0801
o para Δx = 0.001 , cuyos valores seconcentran en la siguiente tabla:
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
0.81
0.0801
0.008001
0.000000000008000000000001
Δy
Δx
8.1
8.01
8.001
8.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
Entonces lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 8.
Δx
Δy
= 8 , para el valor inicial de x = 4 .
Δx
Repitiendo el procesocon un nuevo valor inicial, por ejemplo para x = 5 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.000000000001
Δy
1.01
0.1001
0.010001
0.000000000010000000000001
Δy
Δx
10.1
10.01
10.001
10.000000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
Entonces lim
Δx → 0
Δy
= 10 , para el valor inicial de x = 5 .
Δx
47
etc..
Δy
se aproxima a10.
Δx
La derivada
Repitiendo el proceso con otro valor inicial, por ejemplo para x = 7 :
Δx
0.1
0.01
0.001
0.00000000001
Δy
1.41
0.1401
0.014001
0.0000000001400000000001
Δy
Δx
14.1
14.01
14.001
14.00000000001
Se ve que conforme Δx tiende a cero, por su parte el cociente
Entonces lim
Δx → 0
etc.
Δy
se aproxima a 14.
Δx
Δy
= 14, para el valor inicial de x = 7 .
Δx
Se pueden sintetizar los resultados de las anteriores tablas de la manera siguiente:
Para x = 5:
Para x = 4:
lim
Δx → 0
Δy
=8
Δx
lim
Δx → 0
Δy
= 10
Δx
Para x = 7:
lim
Δx → 0
Δy
= 14
Δx
En cada caso existe una regularidad: el cociente de los incrementos Δy entre Δx siempre tiende al doble del valor inicial de x ,es decir, el límite siempre es el doble del valor de x , lo
cual puede escribirse en términos genéricos como
lim
Δx → 0
Δy
= 2x
Δx
y como este límite es la derivada de la función en cuestión (en este caso, y = x 2 ), entonces
48
La derivada
dy
= 2x
dx
En resumen: la derivada de la función y = x 2 es 2x .
3.2 DERIVADA POR INCREMENTOS (Áreas 1, 2 y 3)
Dado que por...
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