Chi 2 Regresi N Alumnos1

Pruebas de bondad de ajuste. Distribución χ2

Distribución multinomial

Un experimento multinomial generaliza un experimento binomial al permitir que cada intento resulte en uno de cada k resultados, donde k es un número mayor que dos. En general se habla no de dos resultados posibles (éxito o fracaso), sino de varios resultados posibles. Para cada resultado se tiene una probabilidad de salir p,por lo tanto se tienen pk probabilidades, o sea el resultado i tiene una probabilidad pi.
Ejemplo: se tiene la cantidad de productos lácteos que vende un almacén en la última semana:
i
Producto
Cantidades
Pi
1
Leche entera
280
0,337
2
Leche descremada
225
0,271
3
Yogurt entero
115
0,139
4
Yogurt descremado
146
0,176
5
Yogurt con frutas
64
0,077

Total
830
1

Esta última semana los valores hansido distintos a las proporciones que se tienen en general, por lo que se piensa realizar un test de hipótesis, la hipótesis nula especificará el valor de cada pi,
H0: p1 = 0,35; p2 = 0.30: p3 = 0,12; p4 = 0,20; p5 = 0.03
La hipótesis alternativa es H1: por lo menos una de las pi tiene un valor diferente al indicado en H0. Utilizar un nivel de significación de 0,05
Bajo H0 las cantidadesesperadas de cada producto son ei = pi · Total, las cantidades que se obtienen en el recuento (arriba indicado) son las cantidades observadas. Por ejemplo para la leche entera el valor esperado ei = 0,35 · 830 = 290,5
El estadístico de prueba es la distribución Ji cuadrada con n-1 grados de libertad
i
Cantidades Observadas
Pi bajo H0
Cantidades Esperadas
(oi - ei)2/ei
1
280
0,35
290,5
0,380
2
225
0,30249
2,313
3
115
0,12
99,6
2,381
4
146
0,20
166
2,410
5
64
0,03
24,9
61,398

830
1
830
68,882

Este valor de χ2 calculado se compara con un χ2 de tabla con (5-1) grados de libertad y un nivel de significación α, se rechaza la hipótesis nula si χ2 calculado es mayor o igual χ2 (k-1; 1-α)
χ2 (4; 0,95) = 9,483 este valor es menor que 68,882 y por lo tanto rechazo la hipótesis de que esta semana laproporción de ventas es la misma que en los registros históricos.

Tablas de contingencia
Una tabla de contingencia es una tabla de doble entrada en la cual en cada fila se colocan los valores de una de las variables de acuerdo a las categorías, en las columnas las de la otra.
Ejemplo: las cantidades vendidas por tres agentes de ventas durante un período de tres meses aparecen a continuación.Esta tabla muestra los valores observados:
Vendedor
Producto
Total

A
B
C

González
14
12
4
30
Pérez
21
16
8
45
López
15
5
10
30
Total
50
33
22
105

En un caso como este se quiere probar si la cantidad vendida de cada producto es independiente del vendedor. Utilizando un α = 0.05 se quiere probar si hay independencia entre el vendedor y el tipo de producto.
H0: , hay independencia entre variablesH1: no hay independencia entre variables
Bajo la H0 si entonces
Para el vendedor González y el producto A, el valor esperado es: 50 ·30 / 105 = 14,29
La tabla de valores esperados es:
Vendedor
Producto
Total

A
B
C

González
14,29
9,43
6,29
30
Pérez
21,43
14,14
9,43
45
López
14,29
9,43
6,29
30
Total
50
33
22
105

El estadístico de prueba es la distribución Ji cuadrada con (filas-1) x(columnas-1) grados de libertad
Se puede realizar la siguiente tabla para hallar χ2 calculado:
Observados
14
12
4
21
16
8
15
5
10
TOTAL
Esperados
14,29
9,43
6,29
21,43
14,14
9,43
14,29
9,43
6,29

(oi - ei)2/ei
0,0057
0,7013
0,8312
0,0086
0,2439
0,2165
0,0357
2,0801
2,1948
6,3177

Este valor de χ2 calculado se compara con un χ2 de tabla con (3-1) x (3-1) grados de libertad y un nivel de significación α,se rechaza la hipótesis nula si χ2 calculado es mayor o igual χ2 ((f-1) (c-1); 1-α)
χ2 calculado (6,32) es menor que χ2 (4; 0,95) = 9,483 y por lo tanto no rechazo la hipótesis de que esta semana la proporción de ventas es la misma que en los registros históricos.




Ejemplo regresión lineal

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