chi cuadrardro

Páginas: 7 (1551 palabras) Publicado: 28 de julio de 2013
Distribución Chi-Cuadrado

La distribución chi-cuadrado aparece con mucha frecuencia en la estadística aplicada ya que los llamados “test” del cociente de máxima verosimilitud que se utilizan en la prueba de hipótesis estadísticas tienen todos distribución asintótica chi-cuadrado. Cuando se construye un “test” con las técnicas de la máxima verosimilitud, se usa esta distribución, al menos paramuestras grandes. A modo de ejemplo, las técnicas de bondad de ajuste que se usan en genética para establecer si una frecuencia fenotípica se ajusta a un modelo de herencia mendeliana, utilizan un estadístico cuya distribución (asintótica) es chi-cuadrado y de allí su nombre (“test” de chi-cuadrado).Esta distribución también aparece relacionada a la distribución de la varianza muestral, queestudiaremos más adelante. Por ahora sólo daremos su definición formal.


Es posible mostrar que: E(X) =ν ; V(X) = 2ν




 Obsérvese que la esperanza es igual a los grados de libertad de la distribución y que la varianza es también una función lineal de este parámetro .Una forma alternativa de definir variables aleatorias chi-cuadrado es a partir de variables aleatorias normales estándar, comode muestra a continuación:
















EJERCICIOS

1. Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar uno de sus destinos en una ciudad grande forman una distribución normal con una desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución:
Primero seencontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Rpta: P(s2>2) = 0.01 = 1 %



2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25observaciones, de una población normal con varianza , tenga una varianza muestral:
a. Mayor que 9.1
b. Entre 3.462 y 10.745
Solución.
a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada:

Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05
b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada:Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94.
Por lo tanto la P(3.462  s2  10.745) = 0.94

3.- Los siguientes son lospesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.
Solución:
Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:

Al elevar esteresultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286.
Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.
Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para lavarianza es:


Gráficamente:

Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.
 
4.- En...
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