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1.2 TÉCNICAS DE LA DERIVACIÓN.

1.2.1 DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Generalmente la derivación se lleva acabo aplicando fórmulas obtenidas mediante la
regla general de la derivación y que calcularemos a continuación, de estas podemos
derivar las funciones algebraicas, trascendentales, sucesivas y combinadas.

1) DERIVADA DE UNA CONSTANTE.
Emplearemos el método de los cuatro pasos.Si y = f (x) = c siendo c una constante
a) Evaluamos f en x+h, al incrementar x, la constante no cambia y, por lo tanto
tampoco cambia y, entonces f (x+h) = c.
b) Restamos f(x).
f (x+h) – f(x) = c – c = 0
c) Dividimos por h.
f ( x + h) − f ( x ) 0
= =0
h
h
d) Obtenemos el límite cuando h → 0
lim 0 = 0
h→ 0

Resumiendo.
Si y = c entonces

y’ = 0

La derivada de una constante esigual a cero

Ejemplo.
La derivada de y = 4, es y’ = 0
La derivada de y = 5/7, es y’ = 0
La derivada de y = 2, es y’ = 0
Si y = 8, entonces y’ = 0
Si y = –2/3, entonces y’ = 0

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2) DERIVADA DE LA VARIABLE INDEPENDIENTE.(FUNCIÓN IDENTICA O
IDENTIDAD)

Sea y = f(x) = x siguiendo la regla general o de los cuatro pasos:
a) y + y2 – y1 = x + h
b) y 2 − y1 = h

La derivada de lavariable
independiente o con
respecto a ella misma, es
igual la unidad

c) y2 − y1 / h = h / h = 1
Entonces:
d) lim
h →0

y2 − y1
= lim1 = 1
h →0
h

Si y = x entonces y´ = 1

La derivada de la variable independiente o con
respecto a ella misma, es igual la unidad

3) DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR LA VARIABLE
INDEPENDIENTE.

Sea la función y = cx, por ejemplo y =5x
Entonces la derivada de y = 5x, es y’ = 5
Si y = 5x /3, entonces y’ = 5/3

Si y = cx entonces y´ = c

La derivada del producto de una constante
por la variable independiente es igual a la
constante

Por regla general:
a) y + y 2 − y 1 = c( x + h)
b) y 2 − y 1 = cx + ch − cx = ch
c)

y2 − y1 ch
=
=c
h
h

d) lim
h →0

y2 − y1
= lim c = c
h →0
h

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4) LA DERIVADADE SUMA DE FUNCIONES

Si y = u + v + w en donde y = f(x) , u = f(x) , v = f(x), w = f(x)
Entonces y’ = u’ + v’ + w’ , Siempre que u, v, w sean diferenciables
Ejemplo.
Si y = (3 x + 5 x) , entonces y '
2

y’ = u’ + v’ + w’

(3 x 2 + 5 x) = y ' (3x 2 ) + y ' (5 x) = 6 x + 5

La derivada de la suma algebraica de un número finito de
funciones es igual a la suma algebraica de las derivadasde las funciones

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

Empleando la forma general comprueba la fórmula para la derivada de la suma de las
funciones,

5) DERIVADA DE PRODUCTOS Y COCIENTES.
En esta sección, enfocaremos los dos más importantes teoremas que
representan técnicas útiles cuando se requiere derivar funciones complicadas.
TEOREMA 1 REGLA DEL PRODUCTO

Si u(x) y v(x) son dos funciones dex diferenciables, entonces la derivada de su
producto es:
(uv )’ = u v’ + u’ v

La derivada del producto de dos funciones es igual a
la primera función por la derivada de la segunda más
la segunda función por la derivada de la primera.
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Ejemplo. Calcula y’ si y = (5 x − 3 x)(2 x + 8 x + 7)
Solución.
La función dada puede escribirse como un producto y = u v
2

3

y
v = 2 x + 8x+ 7
Si hacemos u = 5 x − 3 x
Aplicando la regla del producto y sustituyendo en la definición del teorema 1
obtenemos,
2

3

y ' = uv'+ vu '
y ' = (5 x 2 − 3x)(6 x 2 + 8) + (2 x 3 + 8 x + 7)(10 x − 3)
Desarrollando y simplificando operaciones obtenemos,

y ' = 30 x 4 − 18 x 3 − 24 x 3 + 40 x 2 − 24 x + 20 x 4 − 6 x 3 + 80 x 2 − 24 x + 70 x − 21
y ' = 50 x 4 − 24 x 3 + 120 x 2 + 22 x −21
Si observamos el ejemplo anterior, en realidad no necesitamos la regla del
producto a fin de calcular la derivada de la función dada. Se puede calcular la
primera derivada, eliminando los productos del lado derecho y expresando a y
como una suma de potencias de x.
y = (5x2 – 3x) (2x3 + 8x + 7)
y = 10x5 – 6x4 + 40x3 – 24x2 + 35x2 – 21x
y’ = 10(5x4) – 6(4x3) + 40(3x2) – 24(2x) + 35(2x)...