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En matemáticas, la derivada de una función es una razón de cambio instantanea, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de larapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad dedicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc, otro caso que se obtiene al llevar a cabo la diferenciación de la velocidad se obtiene la aceleración de algún objeto.

El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya quese corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denotacomo f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculodiferencial.1

Índice [ocultar]
1 Historia de la derivada
1.1 Siglo XVII
1.2 Newton y Leibniz
2 Conceptos y aplicaciones
3 Definiciones de derivada
3.1 Definición como cociente de diferencias
3.2 Continuidad y diferenciabilidad
3.2.1 Condición no recíproca
3.3 Derivada de una función
3.4 Ejemplo
4 Notación
4.1 Notación de Newton
4.2 Notación de Leibniz
4.3 Notación de Lagrange
4.4Notación de Euler
5 Cálculo de la derivada
5.1 Derivadas de funciones elementales
5.2 Reglas prácticas de derivación
5.3 Ejemplo de cálculo
6 Diferenciabilidad
7 Generalizaciones del concepto de derivada
8 Véase también
9 Referencias
9.1 Bibliografía
10 Enlaces externos
Historia de la derivada[editar]
Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearseen la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
El Teorema de los extremos:máximos y mínimos (Pierre de Fermat)
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Siglo XVII[editar]
Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo...