christopher

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EXAMEN DE ECUACIONES
DIFERENCIALES
Mu˜oz - Sonia
n
1-2-2002
Teor´
ıa
1. Teorema de existencia y unicidad de soluci´n para y = f (x, y ) con f ∈ C (R2 ) y
o
verifica una condici´n global deLipschitz, respecto de y.
o
(Soluci´n definida en todo R) (1-2-02)
o
2. Teorema de Cartan sobre la proyecci´n de un sistema de Pfaff al anillo de inteo
grales primeras de su sistema caracter´ıstico. (1-2-02)
3. Teorema de reducci´n local de un campo (conocido el teorema de existencia).
o
(5-2-03)
4. Teorema de Darboux (5-2-03)
5. m´todo de las caracter´
e
ısticas de Cauchi para lasecuaciones en derivadas parciales
de 1 orden (15-9-03)

1

Problemas
1. Dada la ecuaci´n: (1-2-02)
o
y + p(x) = g (x)
∂
a ) Comprobar que admite la transformaci´n infinitesimal X = φ(x) ∂y ,siendo
o
φ(x) una soluci´n particular de la ecuaci´n homog´nea.
o
o
e

b ) Encontrar la forma m´s general de las ecuaciones de primer item y = f (x, y )
a
que admiten la transformaci´n X.
o
c) Integrarlas.
2. Dada la forma: (1-2-02)
ω = (y − xyz 2 ) dx + dy − x2 yz dz
a ) Comprobar que el sistema de Pfaff generado por ω es completamente integrable. Calcular su sistema caracte´
ıstico.b ) Restringir ω al plano z = 1 e integrar dicha restricci´n.
o
c ) Aprovechando el apartado anterior integrar ω .
3. Dada la ecuaci´n p − q 2 = 0 y la curva Γ = {(x, y, z ) ∈ R3 : x = 1, z = y 2}
o
(1-2-02)
a ) Encontrar por el m´todo de las caracter´
e
ısticas de Cauchy una superficiesoluci´n de la ecuaci´n que pase por Γ.
o
o
b ) Encontrar una integral completa de la ecuaci´n yutilizarla para calcular la
o
superficie soluci´n del apartado anterior.
o
4. Encontrar la forma general de las ecuaciones diferenciales de primer orden
∂
∂
y = f (x, y ) que admiten latransformcaci´n infinitesimal X = x ∂y + y ∂x y reo
solverlas.
5. Sea F (x, p, q ) = 0 una ecuaci´n en derivadas parciales de primer orden.
o
a ) Encontrar una integral completa.
b ) Aplicar lo anterior a...