ciclo


Conicas.
*Circunferencia-*Elipse-*Hipérbola-*Parábola






13/02/2013
MATEMATICAS

CÓNICAS
Circunferencia-Elipse-Hipérbola-Parábola
 
Se entiende por CÓNICAS o SECCIONES CÓNICAS a las curvas planas que se producen por la  intersección de un plano con un cono..
Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano. El griego Menaechmos fue el primeroen estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo. Las intersecciones del plano con el cono dependen del modo como éstas se produzcan. Cambiando el ángulo del plano y el lugar donde éste corta al cono, se producirán secciones diferentes
Circunferencia.

Se llamacircunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro . El radio de la circunferencia es la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro .
Ecuación analítica de la circunferencia : Puesto que la distancia entre el centro (a, b) y uno cualquiera de los puntos (x , y)de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que :pasando la raíz al otro miembro :


desarrollando los términos cuadráticos obtenemos que : si hacemos
D = -2a , E = -2b , F = a2 + b2 - r2 tendremos :
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.
Elipse.

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos es constante . Estos dos puntos fijos se llaman focos de la elipse .
Ecuación analítica de laelipse : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la suma de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremos que :
PF + PF' = 2a
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(a2-c2)·x2 + a2y2 - (a2-c2)·a2 = 0

dividiendo entre a2b2obtenemos que :

Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :
Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 + a2y2 - 2xpb2 - 2yqa2 + p2b2 + q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = a2 , D = -2pb2 , E = -2qa2 , F = p2b2 + q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0
Aplicación:
Las órbitas de planetas como la Tierra sonelípticas donde un foco corresponde al Sol. También le corresponde esta figura a los cometas y satélites. Además se cree que este razonamiento se aplica también a las órbitas de los átomos.
Debido a la resistencia del viento, las trayectorias que realizan los aviones cuando hacen viajes circulares se vuelven elípticas.
En arquitectura se utilizan con mayor frecuencia arcos con forma elíptica.Hiperbola
Si el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono obtenemos una hipérbola





Ecuación analítica de la hipérbola : Supongamos para simplificar que los focos están situados en los puntos F(c,0) y F'(-c,0) , tomemos un punto cualquiera P(x , y) de la elipse y supongamos que la diferencia de las distancias entre PF y PF' es igual a 2a , entonces tendremosque :

PF - PF' = 2ª
elevando al cuadrado y uniendo términos semejantes obtenemos que :
(c2-a2)·x2 - a2y2 - (c2-a2)·a2 = 0
A partir del dibujo y aplicando Pitágoras podemos obtener que c2 = a2 + b2 y por lo tanto la ecuación se puede quedar :
b2x2 - a2y2 = a2b2
dividiendo entre a2b2 obtenemos que :
Si la elipse estuviese centrada en un punto cualquiera (p,q) la ecuación debería de ser :Si desarrollamos los cuadrados obtendremos que :
b2x2 - a2y2 - 2xpb2 + 2yqa2 + p2b2 - q2a2 - a2b2 = 0
Si hacemos A = b2 , B = -a2 , D = -2pb2 , E = 2qa2 , F = p2b2 - q2a2 - a2b2 tendremos la ecuación :
Ax2 - By2 + Dx + Ey + F = 0
donde podemos comprobar que es igual que la de la elipse excepto que los términos A y B no son del mismo signo.
Aplicación:
Algunos cometas tienen órbitas...