cicloide

La curva cicloide

Sólido rígido

Movimiento general
de un sólido rígido
Composición de
movimientos
La rueda de Maxwell
Equilibrio
rotación-traslación
Choque frontal de
dos esferas.
Percusión en una
bola de billar
Fuerza sobre una
rueda
Rodando por
un plano inclinado
Deformaciones de
la rueda y el plano
Caja sobre un
plano inclinado
Comportamiento
oscilatorio
La curvacicloide
Curvas cicloidales
La rueda cuadrada
 

Trayectoria de un punto del borde de un círculo que rueda sin deslizar
La braquistrocrona
Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.
Actividades
 


 
La cicloide es una de curvas más importantes en la Física y las Matemáticas, junto a la catenaria y otras curvas. La curva cicloide se encuentra al estudiarvarios fenómenos físicos:
Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar
Forma que adopta un tobogán para que una partícula que desliza sin rozamiento emplee un tiempo mínimo en recorrerlo
Forma que debe adoptar un camino para que un cuerpo que rueda describa un MAS.
Finalmente, encontraremos la cicloide en el movimiento de una partícula en un campo eléctrico y magnéticocruzados.
 
Trayectoria de un punto del borde de un disco que rueda sin deslizar
La cicloide se produce cuando se hace rodar un disco sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del disco describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del disco le corresponde un arco de la cicloide

Si el punto P en el instante inicial está en la partesuperior del disco, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

x=vc·t+R·sen 
y=R-R·cos
donde R es el radio del círculo y  el ángulo girado en el tiempo t, =·t.
Si el disco rueda sin deslizar, la relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc= ·R.
Laecuación de la cicloide expresada en términos del parámetro  , es
x=R( +sen )
y=R(1-cos )
 
La braquistrocrona
La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por  los puntos A y B, pero el tiempono depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.
Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia . Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada detiempo y mínimo).
Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima.

Consideremos que un cuerpo desliza sin rozamiento bajando porun tobogán que tiene la forma de la curva de la figura.
Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos la velocidad v del cuerpo cuando ha descendido una altura y

El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es

Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hastaB sea mínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral

Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.

Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es
,
Integrando respecto de y

Esta integral se resuelve haciendo la sustitución

con lo que se obtiene

que son de...