Ciclos Economicos

APLICACIONES DE LA INTEGRACION DOBLE

ANDRES FELIPE GUZMAN - 503095.

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE COLOMBIA.
FACULTAD: INGENIERÍA CIVIL.
CALCULO VECTORIAL.
BOGOTA D.C.
2012.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DOBLE.
Ya hemos visto una aplicación de las integrales dobles: calcular volúmenes. Otra aplicación geométrica es hallar áreas de superficies y lo haremos en la siguiente sección. En estasección, exploramos aplicaciones físicas como por ejemplo calcular masa, carga eléctrica, centros de masa y momento de inercia. Veremos que estas ideas físicas también son importantes cuando se aplican a funciones de densidad de probabilidad de dos variables aleatorias.

Momentos de inercia
Si tenemos una masa distribuida de modo continua sobre una región A del plano xy, un elemento dm de masaserá
dm= (x, y) dy dx= (x, y)=dA
En donde = (x, y) es la densidad en el punto (x, y) de A, en tal supuesto, cabe utilizar una integral doble para calcular
a) la masa
M="r" (x, y) dA;
b) el primer momento de la masa respecto al eje x
Mx="" y (x, y) dA
c) su primer momento respecto al eje y,
My="" x(x, y) dA
De a y b se deducen las coordenadas del centro de masa

Otros momentos deimportancia en las aplicaciones a la mecánica son los momentos de inercia de la masa. Estos son los segundos momentos que se obtienen utilizando los cuadrados en lugar de las primeras potencias de las distancias o brazos de palanca x y y. Así el momento de inercia respecto al eje x representado por Ix se define por

y el momento de inercia respecto al eje y es

Tiene también interés el momento deinercia polar respecto al origen dado por

Esta ultima formula r2=x2+y2 es el cuadrado de la distancian desde el origen al punto representativo (x, y)
En todas estas integrales deben ponerse los mismos límites de integración que si se tratara solo de calcular el área de A.
Observación 1.- Cuando una partícula de masa m gira alrededor de un eje, y describiendo una circunferencia de radio r convelocidad angular o velocidad lineal v= r, su energía cinética es
½mv²=½mr²².
Si un sistema de partículas de masa m1, m2,…, mn gira alrededor de su eje con la misma velocidad angular q, siendo r1, r2,…, rn sus distancias al eje de giro, la energía cinética del sistema es

Donde

Es el momento de inercia del sistema respecto al eje en cuestión que depende de los valores mk de las masas y de susdistancias rk.
Cuando una masa m se mueve sobre una recta con velocidad v como su energía cinética es ½mv², y se precisa una cantidad de trabajo para detener la partícula. Esta forma análoga, si un sistema de masas efectúa un movimiento de rotación como en el caso de un volante, la energía cinética de que esta animado esto

y se necesita esta misma cantidad de trabajo para llevar al reposo elsistema giratorio. Vemos que I desempeña en este caso el mismo papel que ejerce m volante en el movimiento rectilíneo. En cierto sentido el momento de inercia de un volante el lo que se opone a iniciar o detener su movimiento de rotación de igual modo que la masa de un automóvil podría consumir trabajo para iniciar o detener su movimiento.
Si en lugar de un sistema discreto de partículas, como enlas ecuaciones 17, 18, se tiene una distribución continua de masa en un alambre, una placa delgada o un sólido, hay que dividir la masa que total en elementos de masa m tales que si r representa la distancia de cierto punto de m a un eje, todos los demás puntos del elemento m se hallan a distancia r± del eje donde 0 cuando tienden a cero la máxima dimensión del m. El momento de inercia de la mastotal respecto al eje en cuestión se define por

Así, por ejemplo, el momento polar de inercia dado por la ecuación de un eje z trazado por el punto 0 perpendicular al plano xy.
Además de su importancia en relación con la energía cinética de los cuerpos en rotación, el momento de inercia desempeña un papel decisivo en la teoría de la flexión de vigas cargadas, cuyo “coeficiente de rigidez”...