ciecias basicas

2.5 Aplicaciones.
Se ha visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático de distintos fenómenos. Se inicia con el estudio de sistemas dinámicos (sistemas masa resorte, Ley de Hooke) y posteriormente el comportamiento de circuitos eléctricos.

Las formas de la ecuación diferencial de segundo orden surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de laciencia y la ingeniería, de ahí la necesidad de modelar situaciones típicas utilizando estas ecuaciones.

En esta parte se analizan varios sistemas dinámicos lineales en donde cada modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes:



Donde la función es la señal de entrada (función de entrada o función forzada) del sistema. La salida o respuesta delsistema es una solución de la ecuación diferencial en un intervalo que contiene a que satisface las condiciones iniciales prescritas .

Sistemas de masa – resorte.
Ley de Hooke:
Cuando un resorte flexible, se encuentra colgado de un soporte flexible, al unírsele una masa y una masa , el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará de acuerdo al valor de la masa.De acuerdo a la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución (), opuesta a la dirección del alargamiento , es decir:


Donde es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran el resorte en diferentes dimensiones, éste está caracterizado esencialmente por su número .

Segunda Ley de Newton:Después de unir una masa al resorte, ésta lo estira una longitud hasta llegar a su posición de equilibrio, en la que su peso , está equilibrado por la fuerza de restauración . El peso se define como , donde la masa se da en y la gravedad .

Si la masa se desplaza una distancia respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte se define por ; suponiendo que no existefuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces se puede igualar la segunda Ley de Newton con la fuerza resultante de la fuerza de restitución y el peso:



El signo negativo en la ecuación indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, se puede adoptar laconvención de que los desplazamientos medios debajo de la posición de equilibrio son positivos.
















A partir de la ecuación (1) anterior, se obtiene la ecuación que describe el Movimiento armónico simple, al dividirla entre la masa , la cual se expresa por:



En esta ecuación existen dos condiciones iniciales importantes, que representan la magnitud deldesplazamiento inicial y la velocidad inicial respectivamente :



Cuando y , se trata de una masa que parte de un punto debajo de la posición de equilibrio y a la cual se le ha impulsado una velocidad dirigida hacia arriba.
Cuando y , se trata de una masa que se encuentra en reposo, que se suelta desde un punto que está unidades arriba de la posición de equilibrio.
Los demás casos son análogos.Movimiento vibratorio amortiguado:
El movimiento armónico libre es un tanto irreal, a menos que la masa este en un vacio perfecto. En los estudios de mecánica se supone que las fuerzas de amortiguación que actúan sobre un cuerpo son proporcionales a una potencia de la velocidad instantánea; en particular, en el estudio siguiente, esta fuerza de amortiguación está dada por un múltiplo de laaceleración . Cuando no actúan otras fuerzas externas sobre el sistema, se tiene, aplicando la Segunda Ley de Newton, que:


En donde es una constante de amortiguación positiva y el signo negativo se debe a que la fuerza amortiguadora actúa en dirección opuesta al movimiento. La ecuación del movimiento vibratorio amortiguado libre, se expresa por:



Haciendo la conversión algebraica de y...