Ciencia Directa

ETSII-UPM

Método de Eliminación de Gauss
Matemáticas de la Especialidad (Mecánica-Máquinas) Madrid, 15 de octubre de 2002
Javier García de Jalón
ETSII - Departamento de MatemáticaAplicada a la Ingeniería Industrial

Introducción
ETSII-UPM q

La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es uno de los problemas matemáticos más importantes en Ingeniería
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Hasta la llegada de los computadores digitales (segunda mitad del s. XX) la capacidad de resolver sistemas de ecuaciones estaba muy limitada, no por la complejidad del problema, sinopor el número de operaciones aritméticas Ahora se puede resolver con un PC un sistema 1000×1000 en menos de 1 seg. Con programas especiales que aprovechan la estructura de la matriz sepueden resolver de forma rutinaria con PCs, sistemas de decenas ó cientos de miles de ecuaciones lineales

q

q

Muchos métodos matemáticos (cálculo de valores y vectores propios,integración de ecuaciones diferenciales, optimización, ...) se reducen a la resolución repetida de sistemas de ecuaciones lineales La resolución de sistemas de ecuaciones lineales tiene ademásun importante valor didáctico
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para los métodos numéricos en general para la programación de ordenadores

Sistema de m ecuaciones con n incógnitas
ETSII-UPM q

Se parte de unsistema de m ecuaciones con n incógnitas expresado en forma matricial
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1  a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2    ...  am1 x1 + am 2 x2 + ... + amnxn = bm    a11 a  21  M   am1  a12 a22 M am 2 L a1n   x1    L a2 n   x2    = O M  M   L amn   xn     b1    b2    M  bm   

o bien,

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EnÁlgebra se ha estudiado en qué condiciones este sistema Ax=b:
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Tiene solución única: no hay variables libres (r=n) y b∈Im(A) Tiene infinitas soluciones: hay variables libres...