Ciencia N.

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Podemos observar que:
El dominio de f−1 es el recorrido de f.
El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad.
(f o f −1) (x) = (f −1 o f) (x) = x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respectode la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Hay que distinguir entre la función inversa, f−1(x), y la inversa de una función, .
Cálculo de la función inversa
1Se escribe la ecuación de la función con x e y.
2Se despeja la variable x en función de la variable y.
3Se intercambian las variables.
Calcular la función inversa de:

Vamos a comprobar el resultado para x = 2

Un electrón eslanzado con una velocidad de 2.106 m/s paralelamente a las líneas de un campo eléctrico uniforme de 5000 V/m. Determinar:
a) La distancia que ha recorrido el electrón cuando su velocidad se ha reducido a 0'5.106 m/s
b) La variación de  energía potencial que ha experimentado en ese recorrido.
Solución:
Al tener el electrón carga negativa se ve sometido a una fuerza opuesta al campo eléctricoque le va frenando:
m . a = q . E            a = q . E / m
a = 1'6.10-19 . 5000 / 9'1.10-31 = 8'79.1014 m/s2 
Al ser la aceleración constante, las ecuaciones del movimiento son:
v = vo - a . t          t = (vo - v) / a = ( 2.106 - 0'5.106 ) / 8'79.1014 = 1'7.10-9 s
e = vo . t  - a . t2 /2 = 2.106 . 1'7.10-9 - 8'79.1014 . (1'7.10-9 )2 / 2 = 0'0021 m
La diferencia de potencial entre dospuntos de un campo uniforme es:
VA - VB = E . d = 5000 . 0'0021 = 10'5 Voltios
La variación de energía potencial será:
EpA - EpB = q . (VA - VB ) = - 1'6 . 10-19 . 10'5 = - 1'68.10-18 Julios
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P.A.U. Madrid Junio 2000
Dos cargas puntuales e iguales de valor 2 mC cada una, se encuentran situadas en el plano XY en los puntos (0,5) y (0,-5), respectivamente,estando las distancias expresadas en metros.
a) ¿En qué punto del plano el campo eléctrico es nulo?
b) ¿Cuál es el trabajo necesario para llevar una carga unidad desde el punto (l,O) al punto (-1,0)?
Solución:
 
La suma de dos vectores da nulo si tienen el mismo modulo y forman entre sí 180º. En los puntos situados fuera del segmento que une las cargas, segmento AB, el campo no puede anularsepues los campos forman ángulos distintos de 180 º. Sólo puede anularse en el segmento AB.
Como las cargas son iguales, y el campo depende de la distancia del punto a la carga, para que los dos campos sean iguales y opuestos sólo puede suceder en el punto medio del segmento, en este caso el origen de coordenadas (0,0). Si se desea comprobar analíticamente, consideremos un punto genérico del segmentode coordenadas (x,0) y determinemos x para que el campo sea nulo:
Campo creado en P por la carga situada en A:    E = K. q /(5+x)2 
Campo creado en P por la carga situada en B:    E = K. q /(5-x)2 
Los dos campos deben ser iguales en módulo para que su suma vectorial de campo nulo:
K. q /(5+x)2 = K. q /(5-x)2            (5+x)2 = (5-x)2          x = 0
El trabajo para trasladar una carga deun punto a otro del campo es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos; como en este caso la carga es la unidad el trabajo coincide con la d.d.p.; como el potencial depende de la carga y de la distancia al punto, al ser las cargas iguales y las posiciones relativas de los puntos, con relación a las cargas, iguales, los potenciales son iguales y por tanto eltrabajo es nulo:
W = q. ( V1 - V2 )
V1 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /4 + 1 /6) = 7'5.106 Voltios
V2 = K. qA / rA + K. qB /rB = 9.109 . 2.10-3 .( 1 /6 + 1 /4) = 7'5.106 Voltios
V1 - V2 = 7'5.106 - 7'5.106 = 0       W = 0 Julios
Un condensador está formado por dos placas de superficies 120 cm2 y sometidas a una d.d.p. de 200 voltios. Determinar qué fuerza hay que hacer en...