Ciencia y ficcion

Universidad Autónoma del Caribe

Trabajo de estadística II

Tema:
Distribución chi-cuadrado
Distribución ficher
Distribución T.estudent

Entregado por:
Israel Barros
Jhon Muñoz

2012 – 2

Distribución chi-cuadrado

Definición:
Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro  que representa los grados de libertad de la variable aleatoria

Donde  son variablesaleatorias normales independientes de media cero y varianza uno. El que la variable aleatoria  tenga esta distribución se representa habitualmente así: .
Es conveniente tener en cuenta que la letra griega χ se transcribe al latín como chi y se pronuncia en castellano como ji.

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
2. La forma de una distribución X2 dependedel gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.
3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
6. El valor modal de unadistribución X2 se da en el valor (n-3).
Representación Gráfica del Modelo Ideal de la Distribución Chi Cuadrado:
Un concepto matemático es mucho más fácil de comprender si se puede visualizar la forma que generalmente asume en el abstracto mundo de los números.

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La anterior gráfica muestra los valores de la probabilidad de ocurrencia de X dentro de una Distribución Chi Cuadrado. En el ejehorizontal de las coordenadas se observa que de derecha a izquierda se incluyen todos los valores posibles que puede asumir la variable aleatoria X. Estos valores siempre corresponden a números positivos (no admite números negativos o menores a cero), y tales valores pueden ir desde cero (0) hasta el infinito (∞), aunque en esta gráfica para efectos ilustrativos sólo se han incluido algunos valoresrelevantes ubicados entre 0 y 50. En el eje vertical se han incluido algunos valores representativos de la probabilidad, y por eso ese eje sólo admite valores ubicados entre cero (que equivale a Muy Improbable) y 1 (que equivale a Muy Probable). Las líneas curvas numeradas de color verde, que desde la parte superior derecha hasta la parte inferior izquierda surcan toda la gráfica, representan algunosGrados de Libertad aplicables a todos los valores que puede asumir X dentro de este espacio perfectamente delimitado.

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Para calcular la probabilidad que tiene la variable X de aparecer dentro de un determinado intervalo delimitado por cierto Grado de Libertad, es necesario obtener el punto de la respectiva línea roja (Grado de Libertad) en que se produce la intersección con la línea rectaprolongada desde el valor X ubicado en el eje horizontal, y a continuación desde ese punto de intersección es necesario prolongar una línea recta hasta el eje vertical que nos da el valor de la respectiva probabilidad de ocurrencia para la variable X.

Función de densidad:

Su función de densidad es:

Donde  es la función gamma.

Función de distribución acumulada:

Su función de distribución es:Donde  es la función gamma incompleta.
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k y 2k.

Aplicaciones:

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. La más conocida es la de la denominada prueba χ² utilizada como prueba de independencia y como prueba de bondad de ajuste y en la estimación de varianzas. Perotambién está involucrada en el problema de estimar la media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student.
Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables...