Ciencia y tecnologia

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11

1

Curso 2o. Ingeniero de Telecomunicación. Ampliación de Matemáticas. Lección 2.

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES. Curso 2010-11

1

Teoría general de los sistemas lineales

Consideremos el circuito de la figura

L = 1H

C = 0.25 F

~ e = 12sen(100t )V

R = 4Ω

i2 (t )

i1 (t )

R = 6ΩAplicando las leyes de Kirchoff obtenemos que la ecuación que gobierna la intensidad de corriente i1 (t) que circula por el circuito de la izquierda es i01 (t) + 4(i1 (t) − i2 (t)) = 12sen (100t) y que la ecuación que gobierna la intensidad de corriente i2 (t) que circula por el circuito de la derecha es Z t 1 6i2 (t) + 4(i2 (t) − i1 (t)) + i2 (τ ) dτ = 0. 0.25 0 Derivando esta última ecuación ysustituyendo en ella la expresión de i01 (t) dada en la primera, nos queda un sistema de ecuaciones diferenciales

i01 (t) = −4i1 (t) + 4i2 (t) + 12sen (100t) i02 (t) = −1.6i1 (t) + 1.2i2 (t) + 4.8sen (100t)

2

Lección 2. Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

que podemos escribir de forma matricial como ¸∙ ¸ ∙ 0 ¸ ∙ ¸ ∙ i1 (t) i1 (t) −4 4 12sen (100t) . = + −1.6 1.2 4.8sen (100t) i02 (t) i2(t) Este es un ejemplo típico de un sistema lineal de ecuaciones diferenciales de dimensión dos con coeficientes constantes. Sus incógnitas son i1 (t) e i2 (t). Si consideramos la función vectorial ¸ ¸ ∙ ¸ ∙ ∙ 12sen (100t) −4 4 i1 (t) , entonces el y el vector f (t) = , la matriz A = i(t) = 4.8sen (100t) −1.6 1.2 i2 (t) sistema se escribe abreviadamente como i0 (t) = Ai(t) + f(t). Veamos otroejemplo. Si en la ecuación lineal de segundo orden y 00 (t) + p(t)y 0 (t) + q(t)y(t) = r(t)
0 ponemos y1 (t) = y(t) e y2 (t) = y 0 (t), entonces y1 (t) = y2 (t) y resolver la ecuación es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones diferenciales 0 y1 (t) = y2 (t) 0 y2 (t) = −q(t)y1 (t) − p(t)y2 (t) + r(t)

cuya forma matricial es ∙

0 y1 (t) 0 y2 (t)

¸

=

∙

0 1 −q(t) −p(t)

¸∙y1 (t) y2 (t)

¸

+

∙

0 r(t)

¸

.

Observemos que, en este caso, la matriz de los coeficientes no es constante. En esta lección estudiaremos en primer lugar la teoría de los sistemas lineales con coeficientes constantes, completándola con los métodos para resolver sistemas no homogéneos. Después estudiaremos una breve introducción a la teoría cualitativa de sistemas no lineales.Definiciones. Un sistema lineal de orden n con coeficientes constantes es un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma
0 y1 = a11 y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + f1 (t) 0 y2 = a21 y1 + a22 y2 + · · · + a2n yn + f2 (t) . . . 0 yn = an1 y1 + an2 y2 + · · · + ann yn + fn (t)

en el que A = [aij ] es una matriz de números reales cuadrada de orden n que se llama matriz de los coeficientes y fi : [a, b]→ R (i = 1, 2, . . . , n) son funciones continuas dadas. Se dice que el sistema es homogéneo cuando todas las funciones fi son iguales a la función cero. Una solución de dicho sistema es una colección y1 , y2 , . . . , yn de funciones de clase C 1 ([a, b]) tales que para cada t ∈ [a, b] se verifica
0 y1 (t) = a11 y1 (t) + a12 y2 (t) + · · · + a1n yn (t) + f1 (t) 0 y2 (t) = a21 y1 (t) + a22 y2 (t) +· · · + a2n yn (t) + f2 (t) . . . 0 yn (t) = an1 y1 (t) + an2 y2 (t) + · · · + ann yn (t) + fn (t).

Ampliación de Matemáticas (Ingeniería de Telecomunicación) – Curso 2010/11 Si introducimos las funciones vectoriales y, f : [a, b] → Rn dadas por ⎡ ⎡ ⎤ ⎤ f1 (t) y1 (t) ⎢ f2 (t) ⎥ ⎢y2 (t) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ y f (t) = ⎢ . ⎥ , y(t) = ⎢ . ⎥ . ⎦ . ⎦ ⎣ . ⎣ . yn (t) fn (t)

3

entonces el sistema se escribede forma abreviada como y 0 (t) = Ay(t) + f (t), cuya estructura es la misma que la de una ecuación lineal de primer orden. De hecho, la teoría de los sistemas lineales es, como cabe esperar, una extensión de las teorías de las ecuaciones lineales de primer y segundo orden. Esto se pone de manifiesto en los siguientes resultados. Teorema de existencia y unicidad. Sean A = [aij ] una matriz...