ciencia y tecnologia

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
TERRITORIAL
JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI
MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS
                                                      

 
 

PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A LA SUPERFICIE 
 
Sea S la superficie dada por  F ( x, y, z ) = 0   y sea  P( x0 , y0 , z0 )   un punto de S. Sea   C una 

ˆ
ˆ
j
curva sobre S que pasa por P, definida por la función vectorial  r (t ) = x(t )i + y(t ) ˆ + z (t )k , 
entonces, para todo t   F ( x(t ), y (t ), z (t )) = 0   
Si F es diferenciable y existen   x′(t ), y′(t ), z′(t )     se sigue de la regla de la cadena que 
  0 = F ′(t ) =

∂F
∂F
∂F
x′(t ) +
y′(t )´+
z ′(t )  
∂x
∂y
∂z

 En      ( x0 , y0 , z0 )   la  forma  vectorial  equivalente  es:  ∇F ( x0 , y0 , z0 ). r ′(t0 ) = 0   es  decir  el producto escalar del gradiente por el vector tangente. 
 
Este resultado significa que el gradiente en P es ortogonal al vector tangente de cualquier 
curva contenida en S que pase por P. Así pues, todas las rectas tangentes en P están en un 
plano que es normal a   ∇F ( x0 , y0 , z0 ) y contiene a P   
 
DEFINICIÓN DE PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE 
 Sea F diferenciable en un punto    P( x0 , y0 , z0 ) de la superficie S dada por   F ( x, y, z ) = 0  
con    ∇F ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0

 
 Se llama PLANO TANGENTE a una superficie (S) en un punto P de la misma, al plano que 
contiene todas las tangentes a las curvas trazadas sobre la superficie por el punto P. 
El plano que pasa por P y es normal a   ∇F ( x0 , y0 , z0 ) se llama el PLANO TANGENTE a S en 
P  
Se  llama  RECTA  NORMAL  a  una  superficie,  a  la  recta  que  pasa  por  un  punto  P  y  es 
perpendicular al plano tangente. 
La recta que pasa por P con la dirección de  ∇F ( x0 , y0 , z0 )  se llama la RECTA NORMAL a S 
en P 
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     http://www.damasorojas.com.ve               Dr. DÁMASO ROJAS

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Si  la  superficie  está  definida  de  manera  implícita  por  la  ecuación  F ( x, y, z ) = 0   , 
entonces: 
Teorema  Si  F  es  diferenciable  en  ( x0 , y0 , z0 ) una  ecuación  del  PLANO  TANGENTE  a  la 
superficie dada por F ( x, y, z ) = 0 en  ( x0 , y0 , z0 )  es: 
 

∂F(x0 , y0 , z0 )
∂F(x0 , y0 ,z0 )
∂F(x0 , y0 , z0 )
(x − x0 ) +
( y − y0 ) +
(z − z0 ) = 0
∂x
∂y
∂z
Y las ecuaciones de la RECTA NORMAL en  ( x0 , y0 , z0 )    es  

 

( x − x0 ) ( y − y0 ) ( z − z0 )
=
=
  
∂F
∂F
∂F
∂x
∂y
∂z
Para  calcular  la  ecuación  del  plano  tangente  en  un  punto    a  una  superficie  dada  en  la 
forma  z = f ( x, y ) ,(superficie  definida  de  manera  explícita), basta  definir  la  función 

F ( x, y, z ) = f ( x, y ) − z  con ello, S es la  superficie de nivel  F ( x, y, z ) = 0 y la ecuación del 
plano tangente a S en el punto    p0 ( x0 , y0 , z0 )  es:  

z − z0 = Fx ( x0 , y0 )( x − x0 ) + Fy ( x0 , y0 )( y − y0 )
   z − z0 =

∂F ( x0 , y0 )
∂F ( x0 , y0 )
 
( x − x0 ) +
( y − y0 )  
∂x
∂y

Y la ecuación de la recta normal: 

x −x0 y − y0 z − z0
 
=
=
−1
⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂z ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠

 
La ecuación del plano tangente se puede utilizar para calcular el valor aproximado de una 
función. Gráficamente significa medir el valor de la función sobre el plano tangente y no 
sobre la superficie. 
ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UN PLANO. 
El  ángulo  de  inclinación  de  un  plano  se  define  como  el  ángulo    θ ;0 ≤ θ ≤

π

,  entre  el 
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plano dado y el plano x y. El ángulo de inclinación de un plano horizontal se toma igual a 0, 
por definición. Como el vector K es normal al plano x y, podemos concluir de la fórmula 

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