Ciencia

Inecuaciones
La resolución de una inecuación de la forma

f ( x ) < g ( x ) ( ≥, > ó ≤ ) implica encontrar un

intervalo para x tal que la desigualdad propuesta sea satisfecha. Para ello,tomemos en cuenta los siguientes hechos: i) ii) iii) iv) v) Sean a, b ∈

c > 0 y a < b entonces ac < bc Sean a, b ∈ , c < 0 y a < b entonces ac > bc a < b ⇔ −b < a < c , es decir −b < a ∧ a < c
,

a >b ⇔ a > b ∨ a < −b
Si a, b ∈ ,

a > 0 , b > 0 y a < b entonces a 2 < b 2

Procedamos ahora a resolver algunos ejemplos utilizando las propiedades anteriores. Ejemplo 1. Encuentre el intervalosolución para la desigualdad Solución: El procedimiento es similar al de la resolución de ecuaciones, sin embargo, debemos tomar en cuenta los hechos (i) y (ii) para proporcionar el intervalo soluciónadecuado, esto es: Caso I:

3 >2 2x − 4

2 x − 4 > 0 ⇒ x > 2 , en consecuencia:
Observe que la desigualdad no cambia de sentido debido a que

3 > 2 ( 2x − 4)
3 > 4x − 8 −4 x > −11 11 x< 4

2x− 4 > 0

Por tanto: S I : x ∈ ( 2, ∞ ) ∩ ⎜ −∞,

11 ⎞ ⎛ 11 ⎞ ⎛ ⎟ = ⎜ 2, ⎟ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ Caso II: 2 x − 4 < 0 ⇒ x < 2 , en consecuencia:

3 < 2 ( 2x − 4)
3 < 4x − 8 −4 x < −11 11 x> 4

Observe que ladesigualdad cambió de sentido debido a que

2x − 4 < 0

Tome en cuenta el hecho de que no es necesario realizar el procedimiento algebraico nuevamente, solamente verifique que se invierte elsentido de la desigualdad en la cadena de razonamientos.

De lo anterior se obtiene que : S II : x ∈ ( −∞, 2 ) ∩ ⎜ Finalmente:

⎛ 11 ⎞ ,∞⎟ = ∅ ⎝4 ⎠

⎛ 11 ⎞ S = S I ∪ S II : x ∈ ⎜ 2, ⎟ ⎝ 4⎠
Métodoalternativo Si

f ( x ) < 0 ( ≥, > ó ≤ ) y analizar el signo de f ( x ) , esto es:

desea

evitarse

el

análisis

de

casos,

basta

dejar

la

desigualdad

en

la

forma3 >2 2x − 4 3 −2>0 2x − 4 3 − 2 ( 2x − 4) 2x − 4 3 − 4x + 8 >0 2x − 4 −4 x + 11 >0 2x − 4
El signo del cociente depende de los signos del numerador y el denominador. Al ser el numerador y el...