Ciencia

Clases primera semana

OPERACIONES CON VECTORES
Un vector es un arreglo de la forma u = u1 , u2 , ..., un En donde las ui , i = 1, 2, ..., n son en general n´meros reales, y son llamadas las compou nentes del vector . A un vector como en la forma anterior lo llamaremos n-tupla, n-ada o simplemente ”vector con n componentes”. Existen otras representaciones para vectores; como vectores columna,como vectores fila, como vectores coordenados, en t´rminos de componetes, etc. En este curso usaremos la e notaci´n definida al principio. Si es necesaria otra notaci´n lo indicaremos en su momento. o o El conjunto que contiene todas las n-tuplas se representa como Rn = {u/u = u1 , u2 , ..., un ; ui ∈ R} Cuando n = 2 al vector u = x, y se le llama par ordenado o vector bidimensional, y se puede vercomo un elemento del plano como muestra la Figura 1 a). Cuando n = 3 al vector u = x, y, z se le llama tripleta o vector tridimensional, y se puede ver como un elemento del espacio como muestra la Figura 1 b).

Figura 1: a) vector del plano , b) vector del espacio 1

Graficamente se puede representar un vector del plano y del espacio como se muestra en la Figura 1. En donde al vector p se lellama vector posici´n (tiene principio en el origen o de coordenadas). Al punto final del vector en cualquiera de los dos casos se le llama con frecuencia vector coordenado. Observaci´n o En el contexto del curso usaremos para u la representaci´n gr´fica de vector posici´n, es o a o decir, en la Figura la representaci´n que hace p, en algunas ocasiones usaremos la notaci´n o o de punto ,vectorcoordenado, si la teor´ as´ lo requiere. ıa ı La Magnitud de un Vector Para un vector u = u1 , u2 , ..., un de Rn , se define la magnitud del vector u como u = u2 + u2 , ..., u2 1 2 n

Para los casos particulares n = 2 y n = 3, tenemos u = donde u = x, y , y u = donde u = x, y, z respectivamente. La magnitud del vector u tiene las siguientes propiedades 1. u ≥ 0 2. u = 0, si y solo si u = 0 3. Para votro vector de Rn se cumple la desigualdad tri´ngular u + v ≤ u + v a Para los casos particulares u ∈ R2 y u ∈ R3 se tiene u = y u = x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2 x2 + y 2 + z 2 x2 + y 2

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Observaciones 1. A la magnitud de un vector u definida como antes, que cumple las propiedades anteriores se le llama norma del vector u. 2. La magnitud o norma de un vector en Rn define en este espacio unadistancia, ´sta es e la medida del vector posici´n tomada desde el origen hasta el punto final ver Figura 1. o Ejemplo 1 Considere el vector u = 5, 3, 2 , encuentre la magnitud o norma del vector u. Soluci´n o Deacuerdo a la definici´n que se tiene de magnitud o norma de un vector o u = √ 52 + 32 + 22 = √ 25 + 9 + 4 = √ 38.

Direcci´n de un vector o

Figura 2: a) direcci´n en el plano , o

b)direcci´n en el espacio o

Para un vector u en el plano, la direcci´n de u se define como el ´ngulo medido desde el o a eje positivo de la x hasta el vector mismo, ver F´ ıgura 2 a). Si θ es la direcci´n del vector u o entonces θ est´ entre 0 y 360 grados inclusive. a 3

Para un vector u en el espacio, la direcci´n de u se define tomando los ´ngulos del vector o a con cada uno de los ejes coordenadosx, y e z, siendo α, β y γ las medidas de estos ´ngulos a respectivamente. Ver F´ ıgura 2 b). Los cosenos directores del vector u se definen como cosα, cosβ y cosγ, si u = x, y, z entonces cosα = x u cosβ = x u cosγ = x u

Operaciones con vectores
Producto por escalar Sean un vector u de Rn , y un escalar α de R, se define el producto por escalar del vector u y el escalar α como αu = αu1 , αu2 ,..., αun

Figura 3: Efectos del producto escalar Efectos El producto escalar produce alargamientos o contracciones sobre el vector u, estos dependen del escalar que interviene en la operaci´n, esto es o 4

1. Si α > 1, entonces el vector αu tiene magnitud o norma mayor que la norma de u y conserva la direcci´n de u. o 2. Si 0 < α < 1, entonces el vector αu tiene magnitud o norma menor que la...