Ciencia

Conjuntos
Podemos considerar un CONJUNTO como una colección bien determinada de objetos de cualquier especie, con o sin relación entre ellos. Con “bien determinada” se quiere indicar que se conocen con precisión los objetos que forman el conjunto, de modo que, podemos saber si un objeto cualquiera pertenece o no a la colección. Ejemplos: El conjunto de páginas de un libro, el conjunto de vocalesdel abecedario, el conjunto de líneas rectas que pasan por un punto y el conjunto de números enteros positivos. Las páginas, las vocales, las líneas y los números a los que se refieren los conjuntos se llaman ELEMENTOS. Se acostumbra representar a los conjuntos por letras mayúsculas y a los elementos por letras minúsculas. La expresión A={a, b, c} significa que el conjunto A tiene como elementosa las letras “a”, “b” y c. Decimos que la letra “a” es un elemento del conjunto A, o que la letra “a” pertenece al conjunto A y lo representa por a Є A Observamos que la letra “d” no es un elemento del conjunto A, o “d” no pertenece al conjunto A y lo representamos por d  A El concepto de pertenencia relaciona un elemento con un conjunto. Vale la pena recordar algunos conjuntos de números: Elconjunto de los números naturales () son aquellos que nos sirven para contar. = {1, 2, 3,….} El conjunto de los números enteros () resulta de la resta de dos números naturales: = {x/ x=m-n; m, n Є} = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} El conjunto de los números racionales () resulta de dividir dos números enteros: = {x/ �� = �� ; a, b Є y b≠0} Algunos de cuyos elementos son: 0, − 2 , − 4 , 2, 3 ,4 etc. Los conjuntos se pueden definir por extensión, es decir, escribiendo todos los elementos que lo constituyen o por comprensión, es decir, enunciando las características de los elementos del conjunto. Por ejemplo el conjunto de números enteros negativos mayores que -4 se puede expresar de ambas maneras:
1 3 4 5 ��

Sea B dicho conjunto. Entonces por extensión �� = −1, −2, −3 Y porcomprensión �� = X / −4 < �� < 0; ��Є Que se lee: El conjunto B está formado por todos los elementos que están entre los números 0 y -4 y que son enteros. Se hace notar que las dos formas como se ha expresado el conjunto no es la única, como se observa al comparar dichas expresiones con las siguientes: �� = {−3, −2, −1} �� = {X / x > −4; �� ���� ���� ������������ ����������������}

Querespectivamente son equivalentes a las dos primeras. Observe que el orden en que se enumeran los objetos carece de importancia. La letra x que se ha utilizado se denomina elemento genérico y puede ser cualquier otra literal, expresión con literales o símbolos, como se observa en los siguientes ejemplos: �� = {3y/ y es un número natural} Que por extensión se escribe: �� = {3, 6, 9, 12, … } �� = {∗/∗ es una vocaldel abecedario} Que por extensión se escribe: �� = ��, ��, ��, ��, �� También se debe señalar que en un conjunto ningún objeto se debe enumerar más de una vez. Por ejemplo, definimos por extensión el conjunto E donde: �� = z/z es una letra de la palabra “Conjunto” Entonces �� = ��, ��, ��, ��, ��, ��, �� En algunas ocasiones es necesario que exista un conjunto particular que es aquel que no tieneelementos. A éste conjunto lo llamamos conjunto vacío y lo representamos por Ø o por { } Hacemos notar que Ø es distinto de 0 (cero) y que 0 es un conjunto con un solo elemento, el número 0 y no el conjunto vacío.

Definición Sea A un conjunto con n elementos. Llamamos cardinalidad de A al número de elementos que contiene dicho conjunto y lo representamos por #A, es decir: #A=n Para losconjuntos A, B, D y E vistos anteriormente se tiene que: #A = #B = 3, #D = 5, #E = 6

OPERACIONES BINARIAS
Establezcamos la siguiente operación llamada asterisco (*) en el conjunto de los números naturales. Dados dos números naturales �� y ��, al primero sumarle dos veces el segundo, es decir: �� ∗ �� = �� + 2�� La regla “al primero sumarle dos veces la segunda” es una OPERACIÓN BINARIA definida en...