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3.3 Vibración forzada de un sistema amortiguado: excitación armónica
Un sistema de un solo grado de libertad con amortiguamiento viscoso y la fuerza externa f que actúan sobre la masa m se muestra en la Figura 3.3. Esta fuerza F puede ser constante o variable con el tiempo f = f(t). Del diagrama de cuerpo libre de la Figura 3.3, aplicando la segunda ley de newton en dirección de x tenemos:mẍ=-cẋ-kx+f(t) (3.11)
o
mẍ+cẋ+kx=f(t) (3.12)
Esta ecuación, en general, tiene que ser complementada con las condiciones iniciales.
x(0)=x_0,ẋ(0)=v_0 (3.13)
Se espera que la solución a este problema sea una función x(t) que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.
Supongamos que nosotros podemos encontrar una función x_s (t)que satisface la ecuación diferencial (3.12) pero no satisface, en general, las condiciones iniciales (3.13). Esta es una solución particular de la ecuación diferencial (3.2). Por lo tanto:
mẍ_s+cẋ_s+kx_s=f(t) (3.14)
Vamos a tratar de encontrar la solución x(t) en la forma:
x(t)=x_s (t)+x_h (t) (3.15)
Donde x_h (t) es una función que se determina.
Sustituyendo en la ecuación (3.12),nosotros obtenemos:
mẍ_h+cẋ_h+kx_h=0 (3.16)
Por lo tanto, xh(t) es la solución de la ecuación homogénea diferencial, que es, el problema de vibración natural . Las condiciones iniciales, ecuación (3.13), se convierten:
x_h0=x_h (0)=x_0-x_s (0) (3.17a)
v_h0=v_h (0)=├ ẋ_h ┤|_(t=0)=├ v_0-ẋ_s ┤|_(t=0) (3.17b)
Las ecuaciones (3.16) y (3.17) definen un problema natural de vibración, comoel que se resolvió en el capítulo 2. Para resolver el problema no homogéneo, por lo tanto, se debe proceder de la siguiente manera:

Figura 3.3 vibración forzada amortiguada de un sistema de un solo grado de libertad
Encontrar una solución particular x_s (t) de la ecuación (3.12)
Utilizando el valor de la función x_s y su derivada del tiempo t = 0, formular las condiciones iniciales(3.17).f
Resolver el problema homogéneo (3.16), (3.17).
Añadir las dos soluciones x_s (t)+x_h (t)
Fuerza armónica de amplitud constante f(t)=F_0 cosωt
Ya que cosωt=Re(e^iωt), supondremos que la fuerza es f(t) = Foe^iωt y la parte real de la respuesta compleja será la solución.
Una fuerza compleja no tiene significado físico, sin embargo, es un concepto muy útil en la extracción de las respuestasa la excitación armónica. Aquí F0, ω son dos constantes dadas, la fuerza armónica de amplitud y velocidad
angular, respectivamente. Una vez más la solución se encuentra probando la función x_s (t)=Xe^iωt. Obtenemos:
X=F_0/[(-ω^2 m+k)+iωc] (3.18)
Multiplicando el lado de la derecha de (3.18) por (– ω2m + k) – iωc y separando las partes real de las imaginarias, obtenemos:
X=F_0{(-ω^2 m+k)/[(-ω^2 m+k)^2+ω^2 c^2 ]-iωc/[(-ω^2 m+k)^2+ω^2 c^2 ]} (3.19)
Del algebra de números complejos, sabemos que cualquier número complejo x + iy puede escribirse como:
x+iy=〖Re〗^iф (3.20)
Donde R=(x^2+y^2 )^(1/2) y tanф=y/x. por lo tanto, (3.19) puede escribirse como:X=F_0/[(-ω^2 m+k)^2+(ωc)^2 ]^(1/2) e^(-iф),tanф=ωc/((-ω^2 m+k) ) (3.21)
x_s (t)es la solución, por lo tanto, la parte real de la ecuación (3.21):
xs(t) = [F0/[(– ω2m + k)2 + (ωc)2]1/2 cos (ωt–φ), (3.22)
tanφ= ωc/(– ω2m + k) (3.22a)
En términos de parámetros adimensionales, dividiendo numerador y denominador por kobtenemos:
xs(t) = (F0/k)/[(1– (ω/ ωn)2)2 + (2ζ ω/ ωn)2]1/2 cos(ω–φ),
tanφ= (2ζ ω/ ωn)/ [1– (ω/ ωn)2] (3.22b)
En la adición de un término x_s (t)debido a la fuerza externa f(t), la solución del problema de vibración de fuerza tiene otro término, x_h (t)que refleja las condiciones iniciales. No importa lo que las condiciones iniciales son, sin embargo,...