Ciencia

´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TAREA 2

(c) Si existe una partici´n P de [0, 1] tal que S(f, P ) = o ¯ S(f, P ), entonces f es integrable en [0, 1]. (8) Sea f : [0, 1] → R dada por f (x) = 10 si x = 1 ; 3 si x = 1 . 3
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(1) Demuestre las siguientes propiedades: (a) Para toda partici´n P de [a, b], siempre sucede que o ¯ S(f ; P ) S(f ; P ). (b) Si Q es refinamiento de P , entoncesS(f ; P ) S(f ; Q) ¯ ¯ y S(f ; Q) S(f ; P ). (c) Para cualesquiera particiones P y Q de [a, b], siempre ¯ sucede que S(f ; P ) S(f ; Q). (2) Diga si la siguiente afirmaci´n es falsa o verdadera: Si f :o [a, b] → R es una funci´n acotada para la cual S(f, P ) = 5 o para toda partici´n P de [a, b], entonces f es integrable. o (Argumente su respuesta). (3) Suponga que f : [a, b] → R es una funci´nacotada inteo grable, demuestre que existe una sucesi´n P1 , P2 , . . . , Pn , . . . o de particiones del intervalo [a, b] tales que
b n→∞

¿Es f integrable en [0, 1]? Si s´ halle la integral ı, (9)Sea f : [0, 1] → R la funci´n dada por o f (x) = x 0 si x es racional si x es irracional.

f (x)dx.

Halle S(f ; P ) para toda partici´n P de [0, 1]. Halle o ¯ inf{S(f ; P ) : P es partici´n }. oDiga si f integrable en [0, 1]. Argumente su respuesta. (10) Demostrar que la funci´n f : [0, b] → R es integrable, o donde f (x) = x2 para toda x ∈ [0, b] (0 < b). Halle el b valor de 0 f (x)dx. (11)Demostrar que la funci´n f : [0, b] → R es integrable, o donde f (x) = x3 para toda x ∈ [0, b] (0 < b). Halle el b valor de 0 f (x)dx. (12) Sean f, g : [a, b] → R funciones acotadas en [a, b] (a < b).Suponga que f, g y |f | son integrables en [a, b]. Demuestre lo siguiente: (a) Si para toda x ∈ [a, b] se tiene que f (x) g(x) b b entonces a f (x)dx a g(x)dx. b b (b) a f (x)dx |f (x)|dx. a (13)Suponga que f : [a, b] → R es una funci´n creciente. Deo muestre que f es acotada y que f es integrable. (14) D´ un ejemplo de una funci´n f : [a, b] → R que tenga e o una cantidad numerable de...