Ciencia

TAREA. ALGEBRA LINEAL

ESPACIOS VECTORIALES
1. Demuestre que los siguientes espacios son espacios vectoriales:

a. El espacio F n de n-dimensionales con valores en un campo F.
b. El espacio Mm x n de matrices m x n con valores en un campo F.
c. El espacio F (S, F) de todas las funciones de un conjunto S en un campo F.
d. El espacio P(F) de todos los polinomios concoeficientes en un campo F.

2. Si x, y, z son elementos de un espacio vectorial V tal que x + z = y + z, entonces x = y.
3. El vector 0 descrito en (VS3) es único.
4. El vector y descrito en (VS4) es único.
5. En cualquier espacio vectorial V son verdaderos los siguientes enunciados:

a) 0x = 0 para toda x en V.
b) (-ax) = -(ax) para toda a en F y toda x en V.
c) a0 = 0 paratoda a en F.

6. Sea S = { 0, 1 } y F = R el campo de los números reales. En F (S, R), demostrar que f = g y f + g = h donde f(x) = 2x + 1, g(x) = 1 + 4x – 2x2, y h(x) = 5x + 1.
7. Sea V el conjunto de todas las funciones diferenciales de valores reales definidas sobre la recta de los reales. Demostrar que V es un espacio vectorial.
8. Sea V = { 0 } que conste de un único valory defínase 0 + 0 = 0 y c0 = 0 para cada c en F. Demostrar que V es un espacio vectorial sobre F.
9. Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto de V. Entonces, W es un subespacio de V si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguientes:

a) 0 ϵ W.
b) x + y ϵ W siempre que x ϵ W y y ϵ W.
c) ax ϵ W siempre que a ϵ F y x ϵ W.

10. Demostrar que los siguientes conjuntosson subespacios vectoriales:

a) El conjunto de todas matrices diagonales.
b) Los polinomios de grado igual o menor que n.
c) Las funciones continuas de valores reales definidas en el eje de los reales.
d) El conjunto de todas las matrices de n x n que tienen una traza igual a cero.

11. Cualquier intersección de subespacios de un espacio vectorial V es un subespacio de V.12. Si W1 y W2 son subespacios de un espacio vectorial V, entonces W1 + W2 es un subespacio de V.
13. La suma de cualquier número finito de subespacios de V es un subespacio de V.
14. Sea W1 = { (a, 0): a ϵ F } y W2 = { (0 ,b): b ϵ F }. Entonces F 2 = W1 + W2 .
15. Sean W1 y W2 respectivamente, los conjuntos de todas las funciones pares e impares en F (R, R).
16. Sean W1 y W2subespacios de un espacio vectorial V. Entonces V es la suma directa de W1 y W2 si y sólo si cada elemento de V se puede escribir de manera única como x1 + x2 donde x1 ϵ W1 y x2 ϵ W2.
17. Demostrar que (aA + bB)t = aAt + bBt para toda A, B ϵ Mm x n (F) y toda a, b en F.
18. Demostrar que (At)t = A para toda A ϵ Mm x n (F).
19. Demostrar que A + At es simétrica para cualquier matrizcuadrada.
20. Demostrar que Tr(aA + Bb) = aTr(A) + bTr(B) para toda A, B ϵ Mm x n (F).
21. Demostrar que W1 = {( a1, . . ., an) ϵ F n : a1 + . . . + an = 0 } es un subespacio de F n.
22. Demostrar que las matrices triangulares superiores forman un subespacio de Mm x n (F).
23. Demostrar que para cualquier s0 ϵ S, W = { f ϵ F (S, F): f (s0) = 0 } es un subespacio de F (S, F).24. Sea Cn (R) el conjunto de todas las funciones de valor real definidas en la recta de los reales que tienen una derivada n-ésima continua (y por tanto derivadas continuas de orden 1,2,…,n). Probar que Cn (R) es un subespacio de F (R, R).
25. Demostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio de V si y sólo si W es distinto del vacío, ax ϵ W y además x + y ϵ Wsiempre que a ϵ F y x,y ϵ W.
26. Demostrar que un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio de V si y sólo si 0 ϵ W y ax + y ϵ W siempre que a ϵ F y x,y ϵ W.
27. Sean W1 y W2 subespacios de un espacio vectorial V. Demostrar que W1 U W2 es un subespacio de V si y sólo si W1 está contenido en W2 o W2 está contenido en W1.
28. Demostrar que F n es la suma directa de los...