Ciencia

Calcula en el triángulo A(2, 3) ; B(6, 9) ; C (8, 1):
1) Ecuaciones de las medianas y coordenadas del baricentro
Mediana: recta que pasa por el punto medio de una lado y por el vértice opuesto

Punto medio del lado AB:
Vector:
Mediana:
En forma general
—————————————
Punto medio del lado BC:
Vector
Mediana:
En forma general
—————————————
Punto medio del lado AC:Vector
Mediana
En forma explicita
—————————————
Para calcular el baricentro resolvemos el sistema formado por dos de las medianas:


Por sustitución . Despejando

El baricentro
2) Ecuaciones de las mediatrices y coordenadas del circuncentro
Mediatriz: recta perpendicular a un lado que pasa por su punto medio

Los puntos medios M, N y O ya los hemos calculado. Calculamoslos vectores de los lados para sacar la pendiente de la perpendicular.
Vector
Pendiente
Pendiente de la perpendicular
Mediatriz
———————————————-
Vector
Pendiente
Pendiente de la perpendicular
Mediatriz:
——————————————–
Vector
Pendiente
Pendiente de la perpendicular
ediatriz:
—————————————-
Para calcular el circuncentro resolvemos el sistema formado por dos delas mediatrices


Despejamos y en la primera y sustituimos en la segunda:

;
El circuncentro
3) Ecuaciones de las alturas y coordenadas del ortocentro
Altura : recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto

En el apartado anterior ya hemos calculado la pendiente de las rectas perperndiculares a los lados por lo que directamente, podemos escribir las ecuacionesde las alturas:
Altura respecto al lado AB: recta perpendicular al lado AB que pasa por C (8, 1):
Altura respecto al lado AC: recta recta perpendicular al lado AC que pasa por B(6, 9):
Altura respecto al lado BC: recta recta perpendicular al lado BC que pasa por A(2, 3):
El ortocentro de calcula mediante la intersección de dos de las alturas:


Despejamos y en la primera ysustituimos en la segunda: ;


El ortocentro:
CIRCUNFERENCIA Y RECTAS TANGENTES
1) Hallar la ecuación de la circuferencia que pasa por (3,6) y es tangente a a x+y-11=0 y a x-7y+57=0
Sea el centro de la circunferencia.
1. Pasa por ( 3,6), luego el radio será
2. Es tangente a , luego el radio será la distancia del centro a esa recta
3. Es tangente a , luego el radio será la distanciadel centro a esa recta
De estas tres ecuaciones formaremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas igualando la 1ª con la 2ª y la 2ª con la 3ª. Elevaremos al cuadrado para eliminar los radicales
• . Desarrollando nos queda:

• .Desarrollando nos queda:
Para resolver el sistema no lineal resultante restamos las dos ecuaciones para eliminar el término en
. Simplificando(dividir a ambos lados por ocho ) nos queda: .
De aquí podemos despejar en función de y resolver el sistema por sustitución:
.
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales se obtienen los siguientes resultados
y
Para obtener las ecuaciones de las circunferencias nos falta el radio que lo calcularemos sustituyendo en cualquiera de las tres expresiones a partir de las cuales hemosmontado el sistema. Por ejemplo
Si entonces y la ecuación será
Si entonces y la circunferencia será
2) Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 2 tangente a 5x-12y+6=0 y a 3x-4y +2=0
Sea el centro de la circunferencia. De las dos condicones de tangencia obtendremos 2 ecuaciones
1. Si la circunferencia es tángente a entonces:
2. Si la circunferencia es tángente aentonces:
De cada ecuación con valor absoluto obtenemos dos ecuaciones:
1.
2.
3.
4.
Las coordenadas las obtendremos combinando las distintas ecuaciones
• Combinando la 1 y la 3 obtenemos y la circunferencia será:
• Combinando la 1 y la 4 obtenemos y la circunferencia será:
• Combinando la 2 y la 3 obtenemos y la circunferencia será :
• Combinando la 2 y la 4...