ciencia

CAPITULO X

COORDENADAS POLARES
79. Introducci6n. Hasta este punto , en nuestro estudio de propiedades geometricas por mhtodos analfticos hemos utilizado un solo
sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sistema conocido como sislema dr! coordenadas polares. En vista de la
utilidad demostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , el lector puede pensarque no hay necesidad de considerar otro
sistema . Pero veremos , sin embargo , que para ciertas curvas y tipos
de lugares georn6tricos el uso de coordenadas polares presenta algunas
ventajas sobre las coordenadas recta~lgulares
.
80. Sistema de coordenadas polares. Por medio dc un sistema de
coordenadas en un plano, es posible
localizar cualquier punto del plano.
90"
E n el sistemarectangular esto se efectda refiriendo el punto a dos rectas
fijas perpendiculares llamadas ejes tie
coordenadas (Art. 4 ) . En el sistema
polar, un punto se locaiiza especifi-A
cando su posici6n relativa con respecto
a una recta fija y a un punto fijo de esa
recta. La recta fija se llama eje polar;
el punto fijo se llama polo. Sea (figu,)
j
ra 109) la recta horizontal OA el eje
F i g . 109polar y el punto 0 el polo. Sea P un
punto cualquiera en el plano coordenado. Tracemos el segment0 O P y designemos su longitud por r .
Llamemos 8 a1 &ngulo AOP. Evidentemente, la posici6n del punto P con relaci6n a1 eje polar y a1 polo es determinada cuando se
conocen r y 8 . Estas dos cantidades se llaman las coordenadcrs polares
del punto P ; en particular, r se llama radio vector y 8 dngulopolar,

,

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GEOMETRIA ANALITICA PLANA

angulo veclorial o argumenlo de P . Las coordenadas polares de un
punto se indican dentro de un pnrdntesis, escribi6ndose primero el
radio vector. Asf , las coordenadas de P se escriben (r , e ) . La lfnca
recta que pasa por el polo y es perpendicular a1 eje polar se llama el
eje a 90'.
El 6ngulo polar 8 se mide como en Trigonometriaconsiderando el
eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del Bngulo
(Apdndice IC , 1) , cs decir , partiendo del eje polar hacia el radio
vector ; se considera positivo o negativo segiin que el sentido seguido
sea opuesto a1 de las manecillas de un reloj o el mismo . Algunos autores , siguiendo 10s convenios hechos en Trigonometrfa, consideran que
el radio vector nunca debe serconsiderado como negativo ; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos 10s
valores reales . Nosotros seguiremos este iiltimo convenio . Segdn esto,
si un punto tiene un radio vector negativo , ae mide primero el hngulo
polar de la manera ordinaria, y despues ae toma el radio vector en la
prolongaci6n del lado final. Asf, un punto P f , de coordenadas
(- r , 8 ) ,se localiza como se indica en la figura 109.
E s evidente que un par de coordenadas polares (r , 8 ) determina
uno y solamente un punto en el plano coordenado. El reciproco, en
cambio, no es verdadero, porque un punto P determinado por las
coordenadas ( r , e ) esth tambi6n determinada por cualquiera de 10s
pares de coordenadas representadas por (r , 8 2 n n ) , en donde n
cst6 dado enradianes y n es un entero cualquiera. El pun$o P puede
determinarse tambi6n por cualquiera de 10s pares de coordenadas
nn) , en donde n es un entero impar
representados por (- r , e
cualquiera . Mientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunfvoca entre cada punto del plano y un par de ndmeros
reales , esta correspondencia no es iinica en el sistema polar, porque
un puntopuede estar representado por uno cualquiqra de un niimero
infinito de pares de coorderiadas polares. E s esta carencia de reciprocidad dnica en el sistema polar la que nos conduce, en algunos casos ,
a resultados que difieren de 10s obtenidos en el sistema rectangular.
Para la mayor parte de nuestros propdsitos , un par de coordenadas
polares es suficiente para cualquier punto en el plano. Como...