ciencia

Ignacio Domingo Trujillo Silva
itrujill@ing.uchile.cl

Supremos e Ínfimos
Preposición 1: Si s es cota superior de A y además s pertenece a A, implica que s es
Máximo y Supremo de A.
Preposición 2: Si s es cota inferior de A y además s pertenece a A, implica que s es
Ínfimo y Mínimo de A.

2n  1
. En caso que exista, conjeture el valor del
3n  2
Inf (Im( f )) y Sup (Im( f )) , ydemuestre que tu conjetura es correcta.

a) Sea f :    definida por f (n) 

Solución:
Encontraremos el Inf (Im( f )) :
Lo primero que debemos analizar son los elementos del conjunto Im( f ) , (para tener una
idea del comportamiento de la función).
7
9
2n  1
2n  1  1
3
5
 f (2)   f (3)   f (4) 
   f ( n) 
 f (n  1) 
5
8
11
14
3n  2
3n  1  2
Notemos quesi n  1 se tiene que f (n)  f (n  1) , por lo tanto f (1)  f (n) , n  1.
f (1) 

3
3 2n  1
Ahora bien, f (1)  . Entonces necesitamos demostrar que 
.
5
5 3n  2

Partamos con que 0  n  1 n  1. 1
0  n 1
0  10n  9n  5  6
9n  6  10n  5
33n  2   52n  1
3 2n  1

5 3n  2

1

Desigualdad trivial, proveniente de la máxima simplificación de la ecuación3.

(3)

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Por tanto,

3
3
 f (n)n  , esto implica que es cota inferior de la Im( f ) y como
5
5

3
 Im( f ) se tiene que el Inf (Im( f ))  3 .2
5
5

Ahora, encontraremos el Sup (Im( f )) 3:
El ejercicio que se expone a continuación no utiliza la preposición 1, sino que recurre
a la demostración por  . Estademostración se ocupa cuando se escoge un n lo
suficientemente grande que nos asegura la convergencia a nuestro supremo o ínfimo.
Definición de Supremo: Para cada   0 existe a  A / a  Suf (A)  
Definición de Ínfimo: Para cada   0 existe a  A / a  Inf ( A)  
Para cada   0 existe f (n)  Im( f ) / f (n)  Sup (Im( f ))  
2
Notemos que
es cota superior y además un posible supremo4,entonces demostremos que
3
2
es supremo.
3
2n  1 2
 
3n  2 3

2

Preposición 1.
Se desea probar que cierto número es un supremo o ínfimo, se debe escoger entre dos tipos de
demostraciones la que ocupa la Preposición 1, y la que recurre al épsilon. Cada ejercicio tiene solo una
manera de resolverse, por ello se debe tener extremo cuidado al elegir el tipo de demostración. El secretoestá
en analizar si el supremo o ínfimo es un elemento con n finito (f(n) con n finito, se ocupa preposición 1, 2), o
si se trabaja con n infinito (ocupar demostración por épsilon, como se ve en el siguiente ejemplo).
4
¿Por qué es un posible supremo? Como la función es creciente f ( n)  f ( n  1) al hacer crecer n, los
valores que dirigen la ecuación son el 2n en el numerador y el 3n en eldenominador, cuando los n son
3

grandes se simplifican y se intuye el posible supremo, en este caso

2
.
3

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2n  1 2
 
3n  2 3
2

2n  1     3n  2
3

4
2n  1  2n   3n  2
3
1
3n   2
3
1 2
n

9 3
Propiedad Arquimediana, siempre es posible encontrar un N  R , con
N    R  .Entonces existe por “Propiedad Arquimediana”, N 

1 2
 , con N      0.
9 3

1 2

9 3
1
3 N   2
3
N

4
 3 N  2
3
2

2 N  1     3 N  2 
3

2N  1 2
 
3N  2 3

2N  1  2N 

 f ( N )  Im( f ) / f ( N )  Sup (Im( f ))  
2
 Sup(Im( f )) 
3
n
. En caso que exista, conjeture el valor del
n  1000
Sup (Im( f )) , y demuestre que tuconjetura es correcta.

b) Sea f :    definida por f (n) 

1
2
3
n
n 1
 f (2) 
 f (3) 
   f ( n) 
 f (n  1) 
n  1  1000
1001
1002
1003
n  1000
Notemos que si n  1 se tiene que f (n)  f (n  1) .
f (1) 

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Nuestro supremo tentativo es el 1, ya que la función es creciente para todo n y los valores...