ciencia

Grupo
CÁLCULO III

FUNCIONES VECTORIALES
Prof: Doris GONZÁLEZ

Nombre:

Código:

1. Sea f : R ! R2 la función f (t) = t2 ; 3t

1; t3

2 : Determine:

(a) f (1)
(b) f (3)(c)

1
2f(

f (2)
1)

(d) f (1) f (3)
(e) kf (2)k f (1)
(f) f (1)

f ( 1)

(g) f (0) f (1)

f (2)

2. (a) Determine el dominio de f (t) = (ln(t2 + t + 1); ln(t2
(b)Calcule lim

t!0

t + 1); ln t2 + 1 ):

sin 2t cos 2t sin 4t
;
;
sin 3t cos 3t cos 5t

(c) Exponga la continuidad de la función f (t) =

(t; sin t) si t 6= 0
(0; 1) si t = 0

(d)Demuestre que el camino f : R ! R3 ; f (t) = t2 + t + 1; t2

1; t + 2 se encuentra en el plano z = x

(e) Determine la ecuación de la recta tangente y del plano normal a la curva f (t)= t3
punto p = f (1)
(f) Determine todos los puntos en que la recta tangente a la curva f (t) = 3t
plano 3x + y + z = 5:

(g) Hallar el punto en que la recta f (t) = (t + 1; 3t

2;2t

y:

2t; t2 + 1; 3 en el

t3 ; 3t2 ; 3t + t3 es paralela al

1) ; está más cerca del origen.

(h) Determine una función f que parametice el cuadrado jxj + jyj = 1; recorrido ensentido antihorario.
(i) Calcule la longitud de la curva f (t) = (cosh t; sinh t; t)

(j) Reparametrice, utilizando la longitud de arco, la circunferencia unitaria con centro en elorigen.
(k) Calcule la curvatura de la cicloide r(t) = (t

sin t; 1

cos t) : ¿Qué sucede en los puntos en los que cos t = 1?

3

(l) Calcule la curvatura de y = x :
(m) Determine lasecuaciones de los planos osculador, normal y recti…cante a la curva intersección de las super…cies x2 + y 2 + z 2 = 3; x2 + y 2 = 2; en el punto p = (1; 1; 1): Dibuje las super…cies yseñale la curva
intersección.
(n) Descomponga el vector aceleración de la curva r(t) = (2 cos t; sin t) en el punto p = r (0) ; como la suma de
sis componentes tangencial y normal.