Ciencia

Métodos numéricos
UNIDAD II
Raíces De Ecuaciones
Un método simple para aproximar la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para la cual f(x)= 0, proporcione una aproximación inicial a la raíz.
Uno de los problemas más frecuentes de la ingeniería es encontrar las raíces de ecuaciones de la formaf(x) = 0, donde f(x) es una función real de una variable x, como un polinomio en x. f(x)= 4x3+x3-8x+2.
Existen distintos algoritmos para encontrar las raíces o ceros de f(x) = 0, pero ninguno es general, es decir, no hay algoritmos que funcione con todas las ecuaciones.

2.1 Métodos de intervalos: Gráficos, Bisección y falsa posición
Metodos Gráficos
Un método simple para obtener unaaproximación a la raíz de la ecuación f(x)= 0 consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. este punto, que representa el valor  de x para la cual f(x)= 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.
Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado, ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estasaproximaciones se pueden emplear como valores iniciales  para los métodos numéricos.
Las interpretaciones gráficas, además de proporcionar aproximaciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en la compresión de las propiedades de las funciones, previendo las fallas de los métodos numéricos.
Metodos De Bisección
Conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos,se divide iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incrementada en el que el intervalo se divide en dos. Si la función cambia de signo sobre el intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual  ocurre un cambio de signo. “El proceso repite hasta obtener una mejor aproximación”.para facilitar Esté Proceso Aqui Una serie de Pasos
1.-Elija los valores iniciales inferior Xl y Xu de forma tal que la función cambie de signo sobre el
      intervalo.          Esto se puede verificar asegurándose de que f(Xl) f(Xu) 0; entonces la raíz se encuentra dentro del subintervalo superior.Por lo tanto,
            resuelvase Xl = Xr, y continuese en el paso 2.
4.-Si f(Xl) f(Xr)= 0, la raíz es igual a Xr; termina el cálculo.

Metodos De La Falsa Posición
Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. La falsa posición es una alternativa basada en una visualización gráfica.
Este método alternativo que aprovecha la visualización gráfica de unir de unir f(XI)y f(XII) con una línea rectacon el eje de las x representa una mejor estimación de la raíz. El hecho de que se reemplace la curva por una línea recta da una “posición falsa” de la raíz; de aquí el nombre de “método de la falsa posición”.
Usando triángulos semejantes, la intersección de la línea recta con el eje de las x puede ser estimado como:
 

f (Xl)/(Xr-Xl)  =  f(Xu)/(Xr-Xu)

El cual puede resolverse por
         
Xr = Xu -  f (Xu) (Xl - Xu)
                     f (Xl) - f (Xu)

Ésta fórmula de la falsa posición. El valor es Xr, calculado con la ecuación
Xr = Xu -  f (Xu) (Xl - Xu)   Reemplaza uno de los valores iniciales Xl o Xu, 
                 f (Xl) - f (Xu)        que produzca un valor de la función.

2.2 Métodos abiertos: Iteración punto fijo, Método de Newton Raphson y Método de lasecante. Métodos para raíces múltiples.

Métodos Abiertos
Los métodos abiertos se basan en formulas que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos, pero que no necesariamente encierran a la raíz. Como tales, algunas veces divergen o se alejan de la raíz verdadera medida que crece el número de iteraciones (b). Sin embargo, cuando los métodos abiertos...