ciencia

Definición de espacio métrico
Formalmente, un espacio métrico es un conjunto M (a cuyos elementos se les denomina puntos) con una función distancia asociada(también llamada una métrica) d:M\times M\rightarrow\mathbb R (donde \mathbb R es el conjunto de los números reales). Decir d es una distancia sobre M es decir que para todox, y, z en M, esta función debe satisfacer las siguientes condiciones o propiedades de una distancia:

d(x,y) \geq 0 (positividad)
d(x,x) = 0\, (reflexividad)d(x,y) = 0\Leftrightarrow x = y (identidad de los indiscernibles)
d(x,y) = d(y,x)\, (simetría)
d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\, (desigualdad triangular).Algunas definiciones asociadas a un espacio métrico
Sea (M, d) \! un espacio métrico, y sean a \in M \! y r \in \mathbb R^+ \cup \{0\} \! un punto de M\! y unnúmero real positivo o cero, respectivamente:

Se llama bola (abierta) centrada en a y de radio r, al subconjunto de M\!: \{x\in M | d(x,a)0 tal que la bola abiertaB(a,r) \subset V. El conjunto \{B(a,r): a \in M, r \in \mathbb{R}, r>0 \} es base de la topología inducida por d, y también es base de entornos de dicha topología. Como\mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}, resulta entonces que \{B(a,r): a \in M, r>0, r \in \mathbb{Q}\} también es base de entornos de la topología inducida por d. Enconsecuencia, todo espacio métrico cumple el Primer Axioma de Numerabilidad.

Todo espacio métrico es espacio de Hausdorff. Además, al igual que ocurre en espaciospseudométricos, para los espacios métricos son equivalentes las siguientes propiedades: ser espacio de Lindelöf, cumplir el Primer Axioma de Numerabilidad y ser separable.