ciencia

SEGUNDO CAPÍTULO
FUNCIONES DE TRANSFERENCIA
2.1 DEFINICIONES
a) Sistema Continuo

Figura 2.1 Sistema continuo
Es aquel sistema donde la relación entre la salida y(t) y la entrada u(t) es una ecuación diferencial:
n

m

i 0

i 0

 ai y (i ) (t )  biu (i ) (t )
Al aplicar la transformada de Laplace a esta ecuación se tiene:

 n

m

L  ai y ( i ) (t )   L  bi u(i ) (t ) 
 i 0

 i 0


 ai L  y (i ) (t )   bi L u (i ) (t )
n

m

i 0

i 0

i 1
i 1

 m 

ai  s iY ( s )   s i  k 1 y ( k ) (0 )    bi  s iU ( s )   s i  k 1u ( k ) (0 ) 
 
i 0
k 0
k 0
 i 0 

n
n
m
 i 1
 m
 i 1

ai s iY ( s )     s i  k 1 y ( k ) (0 )    bi s iU ( s )     s i  k 1u ( k ) (0 ) 
i 0
i 0  k 0
i 0  k 0
 i 0

n

despejando Y(s):
m

Y ( s) 

 bi siU (s)
i 0

n

a s
i 0

i

 i 1 i  k 1 ( k )   m  i 1 i  k 1 ( k )  
   s y (0 )     s u (0 ) 
  i 0  k 0

 i 0  k 0
n

n

i

a s
i 0

i

n

i

a s
i 0

i

i

entonces, como puede verse la respuesta de un sistema dinámico continuopuede descomponerse en dos
partes


Respuesta de estado cero: Es la primera parte de la ecuación. Depende de la entrada U(s) y es la
respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero



Respuesta de entrada cero: Es la segunda parte de la ecuación. Depende de las condiciones
iniciales y no de la entrada U(s); es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es ceroEn el caso de los sistemas de control continuos siempre se asumen condiciones iniciales nulas.
b) Sistemas discretos

Figura 2.2 Sistema discreto
Supóngase un sistema dinámico lineal discreto (las señales son señales muestreadas, medidas a intervalos
de tiempo), cuya relación entre la entrada u(k) y la salida y(k) está descrita por la siguiente ecuación de
diferencias:
n

m

i 0i 0

 ai y(k  i)  biu(k  i)
Al aplicar la transformada Z a esta ecuación se tiene:

 n

m

Z  ai y (k  i )   Z  bi u (k  i ) 
 i 0

 i 0

n

m

i 0

i 0

 ai Z  y(k  i)   bi Z u (k  i)
i 1
i 1

 m 

ai  z iY ( z )   z i  j y ( j )    bi  z iU ( z )   z i  j u ( j ) 

i 0
j 0
j 0

 i 0 

n

n  i1
m  i 1

 m
ai z iY ( z )     z i  j y ( j )    bi z iU ( z )     z i  j u ( j ) 

i 0
i 0  j 0
i 0  j 0

 i 0
n

Despejando Y(z):

 i 1 i  j
 m  i 1

z y( j )     z i ju( j ) 
 bi z U ( z )   
i 0
j 0
  i 0  j 0

 
Y ( z )  i 0
n

m

i

n

 ai z i
i 0

n

n

 ai z i

a z

i 0

i 0

ii

de forma semejante al caso continuo, la ecuación muestra que la respuesta de un sistema dinámico
discreto puede descomponerse en dos partes:


Respuesta de estado cero: Es la primera parte dela ecuación. Depende de la entrada U(z) y no de las
condiciones iniciales; es la respuesta que tiene el sistema si las condiciones iniciales son cero



Respuesta de entrada cero: Es lasegunda parte dela ecuación. Depende de las condiciones iniciales
y no de la entrada U(z), es la respuesta que tiene el sistema si la entrada es cero.

En el caso de los sistemas de control discretos siempre se asumen condiciones iniciales nulas.

c) Función de transferencia
Se define la función de transferencia de un sistema continuo o discreto como la relación en entre salida y
entrada concondiciones iniciales nulas

F (s) 

Y (s)
U ( s ) C . I .0

F ( z) 

Y ( z)
U ( z ) C . I .0

La función de transferencia será, para los casos continuo y discreto, respectivamente:

m

F (s) 

 bi s i
i 0
n

a s
i 0

m

F ( z) 

i

i

b z

i

a z

i

i 0
n

i 0

i

i

Las expresiones

Y (s)  F (s)U (s)

Y ( z)  F ( z)U ( z)...