Ciencia

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Parte I

Introducci´n de Vectores o
1.
1.1.

Caracter´ ısticas Generales
Definici´n o

En la matem´tica y la f´ a ısica, y por ende en la ingenier´ se utilizan diferentes tipos ıa, de cantidades matem´ticas para explicar los fen´menos en estudio, de ´stas las dos m´s a o e a importantes y comunes son: Escalar: representa una cantidad que corresponde a un n´mero, el cual esindependiente del u sistema de referencia utilizado. En el caso de cantidades f´ ısicas debe ser acompa˜ada n de la unidad correspondiente. Ejemplo: masa, temperatura y carga el´ctrica. e Vector: representa una cantidad caracterizada por: 1. magnitud o m´dulo: corresponde al tama˜o del vector o n 2. direcci´n: se determina por la recta en el espacio que lo contiene. o Debido a que el vector necesita unadirecci´n y un sentido para ser definido, es que este o tipo de cantidades dependen del sistema de referencia que se este utilizando. Al igual que en los escalares, si la cantidad vectorial corresponde a una cantidad f´ ısica se debe acompa˜ar de las unidades correspondientes. Ejemplo: velocidad, aceleraci´n y fuerza. n o

1.2.

Representaci´n o
N a E

La representaci´n gr´fica de un vector (a o� ) se hace por o a a medio de una flecha, la cual est´ formada por tres partes: a longitud: corresponde a la magnitud del vector (|a| o a) y depende de la escala que se utilice
a

direcci´n: indica la direcci´n del vector y est´ dada por o o a la punta de la flecha. Tanto la direcci´n como el sentido dependen del sistema de Figura 1: Representaci´n o o referencia elegido. En el caso del vectorque se muestra en la gr´fica de un vector a figura 1, la direcci´n y sentido estan en funci´n del norte indicado. o o

2 COMPONENTES DE LOS VECTORES

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2.

Componentes de los vectores

La componente de un vector es la proyecci´n de vector sobre un eje coordenado. En el caso o del plano cartesiano, al estar formado por dos ejes (x y y), el vector tendr´ dos componentes, a denotadas porlos sub´ ındices x y y de acuerdo al eje. Estas componentes se definen por medio de las expresiones: ax = a cos φ ay = a sin φ donde: ax y ay son escalares φ es un ´ngulo que se mide con respecto al eje x+ , si tiene sentido anti–horario es positivo a y en sentido horario es negativo a es un n´mero siempre positivo y corresponde a la magnitud del vector. u La figura 2 se muestran dos vectores: a y b,sus respectivas componentes cartesianas y el a ´ngulo que cada uno hace con el eje x+ . y (2.1) (2.2)

ay

a

b θ

by

φ bx ax x

Figura 2: Representaci´n gr´fica de las componentes de los vectores a y b o a Las componentes cartesianas de un vector pueden ser positivas o negativas. El signo de cada componente depender´ de la posici´n del vector en el plano cartesiano, es decir en que ao cuadrante este colocado el vector; la cual queda determinada por el ´ngulo φ que haga el a

3 VECTORES UNITARIOS

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n vector con el eje x+ . La figura 3 se˜ala los cuadrantes en el plano cartesiano y a la par se indica el signo de cada componente y valor en el que oscila el ´ngulo que forma con el eje x+ . a y I II I III IV II x III VI Figura 3: Cuadrantes del plano cartesiano En el casoparticular que el vector este colocado en un eje cartesiano se tendr´: a eje x+ eje y + eje x− eje y − ax > 0, ay = 0, φ = 0 = 360◦ ax = 0, ay > 0, φ = 90◦ ax < 0, ay = 0, φ = 180◦ ax = 0, ay < 0, φ = 270◦ ax > 0, ay > 0, 0 < φ < 90◦ ax < 0, ay > 0, 90 < φ < 180◦ ax < 0, ay < 0, 180 < φ < 270◦ ax > 0, ay < 0, 270 < φ < 360◦

Para encontrar el ´ngulo φ y la magnitud del vector, se utilizan lasrelaciones inversas a a las ecuaciones (2.1) y (2.2): a2 + a2 x y � � ay φ = tan−1 . ax a = � (2.3) (2.4)

A los valores a y φ se les llama las componentes en coordenadas polares del vector a. Las relaciones (2.1), (2.2), (2.3) y (2.4) son f´ciles de comprobar observando la figura 2. a La magnitud del vector a y sus componentes cartesianas forman un tri´ngulo rect´ngulo en a a donde a es la...