Ciencia

IDEMPOTENTE | Una matriz A es idempotente si:A2=ANota: La identidad no es la única idempotente | I=I2In=IA= 0101 |
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INVOLUTIVA | Es una matriz cuadrada ( tiene igualnúmero de filas que de columnas) tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad, es decir:A es involutiva si A x A = I | A2 = I |
NILPOTENTE | Decimos que una matriz cuadrada A es Nilpotentede orden r si y sólo si se verifica que A r=0 , ( r es el menor entero positivo ) | A es nilpotente de orden 3, A 3=0
A= 01300-2000 |

ALGORITMOS PARA EL CALCULO DE An

* INDUCCIÓNMATEMÁTICA

Sea la matriz A=101010101
Calcular An,∀n∈N

El método de demostración conocido como inducción matemática, se puede utilizar para demostrar que una cierta proposición p(n), que se refiere alos números naturales, es cierta para cada n.
El método nos dice:

1. Demuestra que P(1) existe
2. Demuestra que P(n) es cierta, entonces P(n+1) es cierta
Así queda claro que P(n) escierta ∀n∈N

Para la matriz A empezamos calculando las sucesivas potencias de la matriz cuadrada A: | A estas potencias las escribimos de otro modo: |A1=101010101A2=202010202A3=404010404A4=808010808 | A1=101010101A2=2102101021021A3=2202201022022A4=2302301023023 |

Esto nos lleva a proponer la siguiente ecuación general:

An=2(n-1)02(n-1)0102(n-1)02(n-1)

Demostramos por inducción que esverdad:

1. Comprobemos que es cierto para cada n=2, n=3 por ejemplo.
2. Supongamos que la formula es cierta para n vamos a ver que también es cierta para n+1An+1=A*An=1010101012(n-1)02(n-1)0102(n-1)02(n-1)=2n02n0102n02n=An+1

Por lo tanto queda demostrado por inducción que:

An=2(n-1)02(n-1)0102(n-1)02(n-1),∀n∈N
Ejemplo:
Sea: B=1-501 , encontrar Bn

Primero encontramossus primeras potencias tales como:

B1=1-501
B2=1-1001 ∴Bn=1-5n01
B3=1-1501
B4=1-2001

HI) Bk=1-5k01

TI) Bk+1=1-5(k+1)01

Demostración:...