Ciencia

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS
DEPARTAMENTO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
SEGUNDO EXAMEN FINAL
RESOLUCIONES
SEMESTRE 2012 - 2
DURACIÓN MÁXIMA 2.5 HORAS

TIPO 1
6 DE JUNIO DE 2012

NOMBRE_______________________________________________________________________________
Apellido paternoApellido materno
Nombre (s)
Firma
Problema 1
De la ojiva mostrada a continuación, obtener su tabla de frecuencias, la media y varianza.

15 Puntos
Resolución
Tabla de frecuencias

Frontera
inferior
5
10
15
20
25
30
35
40

Frontera
superior
10
15
20
25
30
35
40
45

Marca de
clase
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5

Frecuencia
relativa
acumulada
0.160.28
0.56
0.80
0.90
0.94
0.98
1.00

Frecuencia
relativa
0.16
0.12
0.28
0.24
0.10
0.04
0.04
0.02

Frecuencia
absoluta
0.16n
0.12n
0.28n
0.24n
0.10n
0.04n
0.04n
0.02n

Frecuencia
acumulada
0.16n
0.28n
0.56n
0.80n
0.90n
0.94n
0.98n
1.00n

Media
La media aritmética no se puede obtener porque no se dispone de la colección de datos, se estimará a través delconcepto
de media ponderada:
m

*
*
x = ∑ t i f i* = t1 f1* + t 2 f 2 + L + t m f m
i =1

En donde ti es la marca de clase del intervalo i, fi* es la frecuencia relativa del intervalo i y m es el número de intervalos o
clases en la tabla de frecuencias.

PyE_ EF2_TIPO1_2012-2

1

Marca de
clase
7.5
12.5
17.5
22.5
27.5
32.5
37.5
42.5

Frecuencia
relativa
0.16
0.12
0.280.24
0.10
0.04
0.04
0.02
Suma=

tifi*
1.2
1.5
4.9
5.4
2.75
1.3
1.5
0.85
19.4

x = 19.4

Por lo tanto la media es aproximadamente
Para calcular la varianza, se usa
Marca de
clase
7.5

Frecuencia
relativa
0.16

12.5

tifi*

ti2fi*

1.2

9

0.12

1.5

18.75

17.5

0.28

4.9

85.75

22.5

0.24

5.4

121.5

27.5

0.1

2.75

75.63

32.50.04

1.3

42.25

37.5

0.04

1.5

56.25

42.5

0.02

0.85

36.13
445.25

Suma=
entonces

(

s 2 = t i2 f i* − t i f i*

)

2

19.4

= 445.25 − (19.4 ) = 68.89
2

Desviación estándar, que es la raíz de la varianza

s = s2 =

68.89 = 8.3

Problema 2
Se tienen tres urnas como se describe:
Urna I contiene cuatro bolas rojas y cinco bolas blancas.Urna II contiene dos bolas rojas y una bola blanca.
Urna III contiene dos bolas rojas y tres bolas blancas.
Se selecciona una urna al azar y se saca una bola de la urna, dado que la bola es roja, ¿cuál es la probabilidad de que
proceda de la urna I?
15 Puntos
Resolución
Del enunciado se tiene
Sea el evento I que representa seleccionar la urna I.

PyE_ EF2_TIPO1_2012-2

2

Sea el eventoII que representa seleccionar la urna II.
Sea el evento I que representa seleccionar la urna III.
con probabilidades P(I) =1/3 ,

P(II)=1/3

y

P(III)=1/3 porque es igualmente probable la selección de la urna.

Sea el evento R que representa seleccionar una bola roja.
Sea el evento B que representa seleccionar una bola blanca.
entonces del enunciado se tiene

P(R I ) =

4
9

P(R II ) =

2
3

P (R III ) =

2
5

La probabilidad condicional

de la multiplicación

y se tiene la probabilidad total, dada por

del enunciado, se sabe que la pregunta corresponde a la aplicación del Teorema de Bayes, dado que se tenga una bola roja
que se haya seleccionado de la urna I, entonces

sustituyendo valores

Problema 3
Realidad
El duque de Toscana preguntó aGalileo por qué al tirar tres dados y realizar la suma era más fácil obtener un diez que un
nueve, Galileo respondió esta pregunta en su texto Sopra le scoperte dei dadi (Sobre los resultados de los dados).
Para Galileo fue evidente que por ejemplo para sumar tres, debía obtener uno en cada dado (1,1,1) y para sumar cuatro
debía obtener un dos y dos uno, que podían salir de tres formas distintas:...