Ciencia

Capitulo 3:
Variaciones temporales y las ecuaciones de
Maxwell
En este cap´
ıtulo discutiremos las ecuaciones del electromagnetismo con variaciones en el espacio y el tiempo.

1

´
Indice
1. Fuerza de Lorenz

3

2. La Ley de Inducci´n de Faraday
o

4

3. Materia y las ecuaciones de Maxwell
3.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
3.2. Condiciones de Borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5
6
6

4. Transformaciones duales y monopolos magn´ticos
e

7

5. Transformaciones de campos
5.1. Rotaci´n . . . . . . . . . . . .
o
5.2. Inversi´n Espacial . . . . . . .
o
5.3. Inversi´n Temporal . . . . . .
o
5.4. Cantidades Electromagn´ticas
e

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8
8
9
9

6. Energ´ y Teorema de Poynting
ıa
6.1. Ecuaci´n de Energ´ . . . . . .
o
ıa
6.2. Energ´ Magn´tica . . . . . . .
ıa
e
6.3. Ecuaci´n del Momento . . . . .
o
6.4. Campos Arm´nicos . . . . . . .
o

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10
11
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7. Soluci´n por potenciales
o
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7.1. Gauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.2. Gauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
8. Soluciones para fuentes harm´nicas
o

17

9. Soluci´n Num´rica de la ecuaci´n de ondas
o
e
o
22
9.1. Propagaci´n de Frentes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
o

2

1.

Fuerza de Lorenz

Podemos escribir, de manera cl´sica, la ley de fuerza usada para cargas en movimiento como
a
ρ(y, t) = qδ (3) (y − x(t))
J(y, t) = q v(t)δ (3) (y − x(t))
De dichas relaciones obtenemos
dp
v
= F = qE + q
×B
dt
c
Es importante notar que los campos que siente una particularcargada es E y B, los cuales incluyen la
redistribuci´n de cargas en el material. Mientras que D y H son los campos producidos por las distribuciones
o
de carga y corrientes libres.

F

R

V

Figura 1: Conductor en un campo magn´tico
e
Supongamos que tenemos un conductor que se mueve en un campo magn´tico uniforme; entonces las cargas
e
libres en el conductor sienten una fuerza quees proporcional a v × B. En el fondo dicha fuerza genera
¯
un campo el´ctrico “efectivo” E en el conductor. Asumiendo una trasformaci´n Galileana, re-escribimos la
e
o
ecuaci´n de arriba para un sistema de referencia movi´ndose con el conductor, obteniendo
o
e
¯
F = qE

v
¯
E=
×B
c

→

Esto demuestra que los campos se transforman de una manera no trivial (esta observaci´n nosllevara a la
o
teor´ de la relatividad y a una formulaci´n covariante de las ecuaciones de Maxwell). Por lo tanto es de
ıa
o
esperarse que la relaci´n general es
o
¯
F = qE

→

v
¯
E =E+
×B
c
3

cuando hay campos el´ctricos y magn´ticos en el sistema inicial. Lo cual se ha comprobado en un sinf´
e
e
ın
¯
de experimentos para velocidades peque˜as. Aun falta lo que pasa para...